کتانژانت (Cotangent): نسبت مکمل در مثلث قائمالزاویه
تعریف کتانژانت در مثلث قائمالزاویه
در یک مثلث قائمالزاویه با زاویۀ حادۀ A، سه ضلع اصلی داریم: ضلع مقابل (در روبروی زاویه A)، ضلع مجاور (چسبیده به زاویه A، غیر از وتر) و وتر (ضلع روبروی زاویۀ قائمه). نسبت کتانژانت زاویۀ A که با cot A نمایش داده میشود، به صورت زیر تعریف میگردد:
$ \cot A = \frac{\text{طول ضلع مجاور زاویه A}}{\text{طول ضلع مقابل زاویه A}} $به عبارت دیگر، اگر در مثلث قائمالزاویهای مانند ABC (زاویۀ قائمه در B)، ضلع مجاور زاویۀ A، ضلع AB و ضلع مقابل آن، ضلع BC باشد، خواهیم داشت:
$ \cot A = \frac{AB}{BC} $این نسبت دقیقاً عکس نسبت تانژانت است، زیرا $ \tan A = \frac{BC}{AB} $. بنابراین رابطۀ $ \cot A = \frac{1}{\tan A} $ همواره برقرار است (به شرطی که تانژانت تعریف شده باشد).
مثال عددی: فرض کنید در یک مثلث قائمالزاویه، ضلع مجاور زاویۀ A برابر 4 سانتیمتر و ضلع مقابل آن برابر 3 سانتیمتر باشد. در این صورت:
$ \cot A = \frac{4}{3} \approx 1.333 $یعنی کتانژانت زاویۀ A تقریباً 1.333 است. این عدد نشان میدهد که ضلع مجاور چند برابر ضلع مقابل است.
ارتباط کتانژانت با سایر نسبتهای مثلثاتی
کتانژانت به تنهایی یک نسبت نیست، بلکه در شبکهای از روابط مثلثاتی با سینوس[1]، کسینوس[2] و تانژانت[3] قرار دارد. این روابط به ما کمک میکنند تا با داشتن یک نسبت، سایر نسبتها را محاسبه کنیم. مهمترین این روابط عبارتند از:
- $ \cot A = \frac{1}{\tan A} $ (رابطۀ معکوس)
- $ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} $ (بر حسب کسینوس و سینوس)
- $ 1 + \cot^2 A = \csc^2 A $ (رابطۀ فیثاغورثی)
رابطۀ دوم بسیار پرکاربرد است. از آنجایی که $ \sin A = \frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}} $ و $ \cos A = \frac{\text{مجاور}}{\text{وتر}} $، با تقسیم کسینوس بر سینوس، طول وتر ساده شده و به همان نسبت مجاور به مقابل میرسیم.
برای درک بهتر این ارتباطات، جدول زیر مقادیر کتانژانت را برای زوایای پرکاربرد نشان میدهد:
| زاویه بر حسب درجه | زاویه بر حسب رادیان | مقدار cot | نوع برچسب |
|---|---|---|---|
| 30° | π/6 | $ \sqrt{3} \approx 1.732 $ | بزرگتر از یک |
| 45° | π/4 | $ 1 $ | مساوی یک |
| 60° | π/3 | $ \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 $ | کوچکتر از یک |
کاربردهای عملی کتانژانت در مسائل روزمره و علمی
کتانژانت اگرچه به اندازه سینوس و کسینوس در محاسبات مقدماتی مشهور نیست، اما در بسیاری از زمینهها کاربردهای مستقیم و غیرمستقیمی دارد. در این بخش به چند کاربرد عینی و ملموس اشاره میکنیم.
کاربرد در محاسبۀ شیب و زاویه: فرض کنید میخواهید زاویۀ یک سطح شیبدار را پیدا کنید، در حالی که فقط فاصله افقی (مجاور) و ارتفاع (مقابل) را دارید. تانژانت زاویه برابر ارتفاع به فاصله افقی است. اما اگر نیاز به محاسبهای داشته باشید که در آن فاصله افقی صورت کسر باشد، کتانژانت مستقیماً این نسبت را نشان میدهد. برای مثال، در طراحی یک سطح شیبدار مخصوص ویلچر، اگر بخواهیم بدانیم به ازای هر 1 سانتیمتر ارتفاع، چند سانتیمتر طول افقی نیاز داریم تا زاویه استاندارد حفظ شود، این مقدار همان کتانژانت زاویۀ شیب است.
کاربرد در فیزیک (تحلیل بردارها): در تجزیۀ یک بردار به مؤلفههای افقی و عمودی، گاهی اوقات زاویه با خط افق داده میشود. در این حالت، مؤلفۀ افقی برابر $ F \cos \theta $ و مؤلفۀ عمودی برابر $ F \sin \theta $ است. اگر نسبت این دو مؤلفه (افقی به عمودی) مد نظر باشد، این نسبت دقیقاً $ \cot \theta $ خواهد بود.
کاربرد در نقشهبرداری: فرض کنید نقشهبرداری میخواهد فاصلۀ افقی یک نقطه از پای یک تپه را با اندازهگیری زاویۀ ارتفاع و فاصلۀ شیبدار (وتر) پیدا کند. اگر به جای وتر، ارتفاع تپه (ضلع مقابل) را بداند، با استفاده از کتانژانت زاویه، فاصلۀ افقی به راحتی محاسبه میشود: $ \text{فاصله افقی} = \text{ارتفاع} \times \cot(\text{زاویه ارتفاع}) $.
مثال عینی: یک نردبان به طول 5 متر را در نظر بگیرید که به دیواری تکیه داده شده است. اگر زاویۀ بین نردبان و زمین 60 درجه باشد، فاصلۀ پای نردبان از دیوار (ضلع مجاور) چقدر است؟ میدانیم که $ \cos 60 = \frac{\text{مجاور}}{\text{وتر}} $ است، بنابراین مجاور 2.5 متر میشود. اما اگر ارتفاعی که نردبان به آن تکیه کرده (ضلع مقابل) را داشته باشیم و بخواهیم فاصله از دیوار را پیدا کنیم، از کتانژانت استفاده میکنیم. ارتفاع نردبان روی دیوار برابر $ 5 \times \sin 60 = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 4.33 $ متر است. حالا فاصله از دیوار برابر است با $ \text{ارتفاع} \times \cot 60 \approx 4.33 \times 0.577 \approx 2.5 $ متر که همان نتیجه قبلی است.
چالشهای مفهومی
چالش ۱: چرا کتانژانت زاویۀ ۴۵ درجه برابر ۱ است؟
در یک مثلث قائمالزاویه با زاویۀ ۴۵ درجه، دو زاویۀ حاده با هم برابرند. چنین مثلثی متساویالساقین است، یعنی دو ضلعی که زاویۀ قائمه را تشکیل میدهند (مجاور و مقابل هر زاویۀ ۴۵ درجه) با هم برابرند. بنابراین نسبت مجاور به مقابل برابر ۱ میشود.
چالش ۲: اگر مقدار کتانژانت یک زاویه را بدانیم، چگونه میتوانیم خود زاویه را پیدا کنیم؟
برای پیدا کردن زاویه از روی مقدار کتانژانت آن، از تابع معکوس کتانژانت استفاده میشود که آن را با $ \cot^{-1} $ یا $ \arccot $ نشان میدهند. برای مثال، اگر $ \cot A = 1.732 $ باشد، آنگاه $ A = \cot^{-1}(1.732) = 30^\circ $. در ماشینحسابها معمولاً تابع تانژانت معکوس برای این کار به کار میرود، زیرا $ \cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(\frac{1}{x}) $.
چالش ۳: چه زمانی کتانژانت تعریف نشده است؟
کتانژانت یک زاویه وقتی تعریف نشده است که ضلع مقابل آن صفر باشد. در مثلث قائمالزاویه، این حالت برای زاویۀ ۰ درجه و ۱۸۰ درجه (یا به طور کلی $ k \times 180^\circ $ که k یک عدد صحیح است) رخ میدهد. در این زوایا، ضلع مقابل روی امتداد افق قرار گرفته و طول آن صفر است. از نظر جبری نیز از آنجا که $ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} $، وقتی $ \sin A = 0 $ باشد، کسر مخرج صفر دارد و تعریف نشده است.
در این مقاله با مفهوم کتانژانت به عنوان نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل در مثلث قائمالزاویه آشنا شدیم. دیدیم که این نسبت با نماد cot A نمایش داده میشود و مکمل تانژانت است. ارتباط آن را با سایر نسبتهای مثلثاتی مرور کردیم و با کمک جدول، مقادیر آن را برای زوایای مهم به خاطر سپردیم. همچنین با مثالهایی از نقشهبرداری، فیزیک و هندسه، کاربردهای عملی آن را بررسی نمودیم. درک صحیح کتانژانت، پایهای برای یادگیری مباحث پیشرفتهتر مثلثات و حل مسائل پیچیدهتر در علوم مهندسی است.
پاورقیها
[1]سینوس (Sine): در مثلث قائمالزاویه، نسبت طول ضلع مقابل یک زاویۀ حاده به طول وتر.
[2]کسینوس (Cosine): در مثلث قائمالزاویه، نسبت طول ضلع مجاور یک زاویۀ حاده به طول وتر.
[3]تانژانت (Tangent): در مثلث قائمالزاویه، نسبت طول ضلع مقابل یک زاویۀ حاده به طول ضلع مجاور آن. این نسبت معکوس کتانژانت است.
