مثلث قائمالزاویه: از قضیهٔ فیثاغورس تا کاربردهای مساحتیابی
تعریف و اجزای اصلی مثلث قائمالزاویه
به مثلثی که یکی از زاویههای آن دقیقاً 90 درجه باشد، مثلث قائمالزاویه میگویند. ضلع مقابل به زاویهٔ قائمه، وتر[4] نام دارد که بلندترین ضلع مثلث است. دو ضلع دیگر که بر هم عمودند، ساقهای مثلث خوانده میشوند. معمولاً ساقها را با حروف a و b و وتر را با c نمایش میدهند.
برای نمونه، اگر زاویهٔ رأس C برابر 90 درجه باشد، ضلع AB وتر، و اضلاع AC و BC ساقهای مثلث خواهند بود.
قضیهٔ فیثاغورس و کاربرد آن در یافتن ضلع مجهول
قضیهٔ فیثاغورس پایهایترین رابطه در مثلث قائمالزاویه است: مجذور وتر برابر است با مجموع مجذورهای دو ساق. با نمادهای ریاضی:
مثال عینی: فرض کنید میخواهیم طول نردبانی را پیدا کنیم که دیواری به ارتفاع 4 متر را از فاصلهٔ 3 متری از پای دیوار تکیه داده است. در اینجا ساقها a = 4 و b = 3 هستند. طول نردبان (وتر) برابر است با:
$c = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ متر.
اگر وتر و یک ساق داده شده باشد، میتوان ساق دیگر را حساب کرد. مثلاً اگر وتر 13 و یک ساق 5 باشد، ساق دیگر برابر $b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ خواهد بود.
نسبتهای مثلثاتی در مثلث قائمالزاویه
برای هر زاویهٔ حادّۀ θ در یک مثلث قائمالزاویه، سه نسبت اصلی تعریف میشود:
- سینوس (sin): نسبت ضلع مقابل به زاویه، بر وتر. $\sin \theta = \frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}}$
- کسینوس (cos): نسبت ضلع مجاور به زاویه، بر وتر. $\cos \theta = \frac{\text{مجاور}}{\text{وتر}}$
- تانژانت (tan): نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور. $\tan \theta = \frac{\text{مقابل}}{\text{مجاور}}$
برای بهخاطر سپردن این نسبتها، گاهی از واژههای کلیدی استفاده میشود. جدول زیر مقادیر این نسبتها را برای زوایای پرکاربرد نشان میدهد:
| زاویه (θ) | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|
| 30° | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| 45° | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ |
| 60° | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
مثال: در مثلثی قائمالزاویه با زاویهٔ 30 درجه و وتر 10 سانتیمتر، طول ساق مقابل به زاویهٔ 30 درجه برابر $10 \times \sin 30° = 10 \times 0.5 = 5$ سانتیمتر است.
کاربرد عملی: محاسبهٔ ارتفاع و مساحت
یکی از کاربردهای رایج مثلث قائمالزاویه، پیدا کردن ارتفاع اشکال هندسی و محاسبهٔ مساحت آنهاست. مساحت مثلث قائمالزاویه سادهترین حالت را دارد:
اما گاهی تنها وتر و یک زاویه داده شده است. برای یافتن مساحت، ابتدا ساقها را به کمک نسبتهای مثلثاتی پیدا میکنیم. فرض کنید وتر c و زاویۀ حادّۀ α معلوم باشد:
- ساق مقابل α: $a = c \times \sin \alpha$
- ساق مجاور α: $b = c \times \cos \alpha$
- مساحت: $S = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times c^2 \times \sin \alpha \cos \alpha$
مثال عددی: مثلثی با وتر 20 متر و زاویهٔ 60 درجه. مساحت آن برابر است با:
$S = \frac{1}{2} \times (20 \times \sin 60°) \times (20 \times \cos 60°) = \frac{1}{2} \times (20 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) \times (20 \times 0.5) = \frac{1}{2} \times (10\sqrt{3}) \times 10 = 50\sqrt{3} \approx 86.6 \ \text{متر}^2$
چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
❓ چالش ۱: چرا در مثلث قائمالزاویه نمیتوانیم دو زاویۀ قائمه داشته باشیم؟
پاسخ مجموع زوایای داخلی هر مثلث 180 درجه است. اگر یک زاویه 90 درجه باشد، دو زاویهٔ دیگر مجموعاً 90 درجه خواهند بود. داشتن دو زاویۀ 90 درجه یعنی مجموع زوایا 180 به اضافۀ 90 میشود که غیرممکن است. به بیان دیگر، هر زاویۀ قائمه اضلاع عمود بر هم ایجاد میکند و دو عمود بر یک خط، موازیاند و مثلث را نمیبندند.
❓ چالش ۲: اگر ارتفاع وارد بر وتر رسم کنیم، سه مثلث کوچک چه رابطهای با مثلث اصلی دارند؟
پاسخ ارتفاع وارد بر وتر، مثلث قائمالزاویه را به دو مثلث کوچکتر شبیه به مثلث اصلی و شبیه به یکدیگر تبدیل میکند. برای مثلث ABC (قائمه در C) با ارتفاع CD از رأس C بر وتر AB، داریم: ΔACD ~ ΔABC و ΔBCD ~ ΔABC. از این تشابه روابطی مانند $CD^2 = AD \times DB$ (قضیهٔ ارتفاع) استخراج میشود.
❓ چالش ۳: آیا هر مثلثی با اضلاع 3، 4 و 5 واحد، حتماً قائمالزاویه است؟ اگر بله، زاویۀ قائمه کجاست؟
پاسخ بله، زیرا $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. در نتیجه این سهتایی فیثاغورسی است و مثلث قائمالزاویه است. زاویۀ قائمه مقابل بزرگترین ضلع یعنی ضلع 5 واحدی قرار دارد، بنابراین بین دو ضلع 3 و 4 واحدی، زاویۀ 90 درجه است.
پاورقیها
[1] مثلث قائمالزاویه: Right-angled triangle – مثلثی که یکی از زوایای داخلی آن 90 درجه است.
[2] قضیۀ فیثاغورس: Pythagorean theorem – در یک مثلث قائمالزاویه، مربع وتر برابر مجموع مربعهای دو ساق دیگر است.
[3] نسبتهای مثلثاتی: Trigonometric ratios – شامل سینوس، کسینوس، تانژانت و معکوسهای آنها که روابط میان زاویهها و اضلاع را توصیف میکنند.
[4] وتر: Hypotenuse – ضلع مقابل به زاویۀ قائمه که همواره بلندترین ضلع مثلث قائمالزاویه است.
