دنباله هندسی: از مفهوم تا کاربرد در زندگی روزمره
تعریف و اجزای اصلی دنباله هندسی
به زبانی ساده، دنباله هندسی (Geometric Progression) به دنبالهای از اعداد گفته میشود که نسبت هر جمله به جمله پیشین خود مقداری ثابت باشد. برای مثال، دنباله 2, 4, 8, 16, ... یک دنباله هندسی است؛ زیرا هر جمله دقیقاً 2 برابر جمله قبلی خود است.
اجزای اصلی یک دنباله هندسی عبارتند از:
- جمله اول (a₁)1: اولین عدد در دنباله که مبنای تشکیل سایر جملات است.
- قدرنسبت (r)2: عدد ثابتی که با ضرب شدن در هر جمله، جمله بعدی ساخته میشود. شرط اساسی این است که r ≠ 0.
اگر جمله اول را a₁ و قدرنسبت را r در نظر بگیریم، دنباله هندسی به صورت زیر نوشته میشود:
فرمول جمله عمومی و اثبات آن
برای یافتن هر جمله دلخواه یک دنباله هندسی بدون نیاز به نوشتن تمام جملات قبلی، از فرمول جمله عمومی استفاده میکنیم. طبق تعریف:
- جمله دوم: a₂ = a₁ × r
- جمله سوم: a₃ = a₂ × r = a₁ × r²
- جمله چهارم: a₄ = a₃ × r = a₁ × r³
با تعمیم این روند، به فرمول کلی برای جمله nام میرسیم:
که در آن n شماره جمله (عددی طبیعی) است. برای مثال، اگر a₁ = 5 و r = 3 باشد، جمله پنجم دنباله برابر است با:
این فرمول پایه و اساس بسیاری از محاسبات در دنبالههای هندسی است.
مجموع جملات دنباله هندسی (تصاعد هندسی)
یکی از پرکاربردترین مباحث، محاسبه مجموع تعدادی از جملات یک دنباله هندسی است. اگر دنبالهای به صورت a₁, a₁r, a₁r², ... , a₁rⁿ⁻¹ داشته باشیم، مجموع n جمله اول آن که با نماد Sₙ نشان داده میشود، از فرمول زیر به دست میآید:
در صورتی که r = 1 باشد، مجموع جملات برابر Sₙ = n × a₁ خواهد بود.
برای دنبالههای هندسی بینهایت که در آنها |r| است، مجموع جملات به یک عدد محدود همگرا میشود و از رابطه زیر محاسبه میگردد:
برای درک بهتر، مجموع 6 جمله اول دنباله 3, 6, 12, ... را محاسبه میکنیم. در اینجا a₁ = 3 و r = 2 است:
| مقدار قدرنسبت (r) | رفتار دنباله | مثال |
|---|---|---|
| r > 1 | صعودی و واگرا (به سمت بینهایت) | 2, 4, 8, 16, ... |
| 0 | نزولی و همگرا به صفر | 100, 50, 25, 12.5, ... |
| -1 | یک در میان مثبت و منفی، همگرا به صفر | 6, -3, 1.5, -0.75, ... |
| r | یک در میان مثبت و منفی، واگرا (نوسانی) | 1, -2, 4, -8, ... |
کاربردهای عملی دنباله هندسی در دنیای واقعی
دنبالههای هندسی صرفاً مفاهیمی انتزاعی در کتاب ریاضی نیستند، بلکه در بسیاری از پدیدههای طبیعی و مسائل مالی ظاهر میشوند. در ادامه به چند مورد مشخص اشاره میکنیم:
- رشد جمعیت: اگر جمعیت یک شهر سالانه
5%
رشد کند، جمعیت در سالهای متوالی یک دنباله هندسی با قدرنسبت
r = 1.05
تشکیل میدهد. فرض کنید جمعیت اولیه
10000
نفر باشد، جمعیت پس از
10
سال عبارت است از:
$P_{10} = 10000 \times (1.05)^{10} \approx 16289$
- محاسبه سود مرکب در بانکداری: اگر مبلغی را با نرخ سود سالانه
r
سرمایهگذاری کنید، موجودی هر سال یک دنباله هندسی است. برای مثال، سرمایه
1000
دلار با نرخ سود سالانه
8%
پس از
7
سال به:
$A = 1000 \times (1.08)^{7} \approx 1713.82$دلار تبدیل میشود.
- واپاشی مواد رادیواکتیو: در فیزیک، مقدار یک ماده رادیواکتیو در هر نیمهعمر، نصف میشود. این یک دنباله هندسی با قدرنسبت r = 0.5 است و برای محاسبه مقدار باقیمانده پس از چند نیمهعمر به کار میرود.
چالشهای مفهومی
❓ چگونه میتوان تشخیص داد یک دنباله، هندسی است؟
برای تشخیص، نسبت هر جمله به جمله پیشین را محاسبه کنید. اگر این نسبت برای همه جفتجملات متوالی یکسان بود (و جمله اول صفر نباشد)، دنباله هندسی است. برای مثال در دنباله 5, 10, 20, 40، نسبتها برابر 10/5 = 2، 20/10 = 2 و 40/20 = 2 هستند. پس دنباله هندسی است.
❓ اگر قدرنسبت یک دنباله هندسی، عددی بین صفر و یک باشد، مجموع بینهایت جمله آن چه معنایی دارد؟
این وضعیت نشاندهنده یک سری همگرا است. به این معنا که با افزایش تعداد جملات، مقدار هر جمله به صفر نزدیک میشود و مجموع جملات به یک عدد محدود میل میکند. برای مثال، مجموع دنباله 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... که r = 1/2 است، برابر 2 میشود.
❓ آیا ممکن است یک دنباله هم حسابی باشد و هم هندسی؟
بله، تنها در یک حالت خاص این اتفاق میافتد: وقتی تمام جملات دنباله یکسان و غیرصفر باشند. در این صورت، دنباله حسابی با قدرنسبت صفر و دنباله هندسی با قدرنسبت یک محسوب میشود. مانند دنباله 7, 7, 7, 7, ...
پاورقیها
1جمله اول (First Term): به اولین جمله یک دنباله گفته میشود که معمولاً با نماد a₁ نمایش داده میشود و مبنای تشکیل سایر جملات است.
2قدرنسبت (Common Ratio): عدد ثابتی است که با ضرب شدن در هر جمله یک دنباله هندسی، جمله بعدی ساخته میشود. این عدد که با r نمایش مییابد، هرگز نمیتواند صفر باشد.
3دنباله همگرا (Convergent Sequence): دنبالهای که با افزایش شماره جملات، به یک عدد حقیقی ثابت نزدیک شود. در دنبالههای هندسی، این اتفاق زمانی میافتد که |r|
