واسطه حسابی: پلی میان اعداد در دنبالههای مرتب
تعریف و ویژگیهای اصلی واسطه حسابی
در یک دنباله حسابی (حسابي)[1]، تفاضل هر جمله با جمله قبلی مقداری ثابت است که به آن قدرنسبت (تفاضل مشترک)[2] میگوییم. اگر دو عدد a و b مفروض باشند، واسطه حسابی یک یا چند عددی است که بین آنها قرار میدهیم تا دنبالهای با اختلاف ثابت ایجاد شود.
اگر تنها یک واسطه حسابی بین a و b قرار دهیم (سه جملهای)، این عدد برابر با میانگین حسابی دو عدد مفروض است: $A = \frac{a + b}{2}$. برای درج n واسطه، دنباله به n+2 جمله تبدیل شده و قدرنسبت جدید d از رابطه $b = a + (n+1)d$ به دست میآید: $d = \frac{b-a}{n+1}$.
به عنوان مثال، برای یافتن سه واسطه حسابی بین اعداد 2 و 18، ابتدا تعداد کل پرشها را حساب میکنیم: n+1 = 4. سپس قدرنسبت برابر است با $d = \frac{18-2}{4} = 4$. بنابراین دنباله به صورت 2, 6, 10, 14, 18 خواهد بود که اعداد 6، 10 و 14 همان واسطههای حسابی مورد نظر هستند.
روش گامبهگام محاسبه برای تعداد دلخواه واسطه
برای درج n واسطه حسابی بین دو عدد مشخص، مراحل زیر را دنبال میکنیم:
- تشخیص تعداد کل پرشها: برای رسیدن از عدد اول a به عدد دوم b با درج n عدد میانی، تعداد فواصل برابر n+1 خواهد بود.
- محاسبه قدرنسبت جدید: با استفاده از فرمول $d = \frac{b-a}{n+1}$ مقدار اختلاف ثابت را بیابید.
- ایجاد دنباله: از عدد a شروع کرده و متوالیاً d واحد اضافه کنید تا به b برسید. اعداد میانی، همان واسطههای حسابی هستند.
برای روشنتر شدن موضوع، جدول زیر حالتهای مختلف درج واسطه را نشان میدهد. فرض کنید عدد اول 5 و عدد دوم 25 باشد.
| تعداد واسطهها (n) | قدرنسبت (d) | دنباله حاصل |
|---|---|---|
| 1 | 10 | 5, 15, 25 |
| 3 | 5 | 5, 10, 15, 20, 25 |
| 4 | 4 | 5, 9, 13, 17, 21, 25 |
کاربرد عملی: از برنامهریزی مالی تا هندسه
فرض کنید قصد دارید مبلغی را در 5 قسط مساوی از 200,000 تومان به 500,000 تومان برسانید. اقساط میانی یک تصاعد حسابی را تشکیل میدهند. با درج 3 واسطه (چون خود دو قسط اول و آخر را داریم، جمعاً 5 قسط میشود)، قدرنسبت برابر است با: $d = \frac{500000-200000}{4} = 75000$. بنابراین مبالغ قسطها به ترتیب: 200، 275، 350، 425 و 500 هزار تومان خواهد بود.
در مسائل هندسه نیز گاهی طول ضلعها یک دنباله حسابی را تشکیل میدهند. برای نمونه، اگر اضلاع مثلثی سه عدد متوالی از یک دنباله حسابی با قدرنسبت 2 باشند و محیط آن 30 باشد، با فرض ضلع وسط x، اضلاع x-2، x و x+2 بوده و معادله 3x=30، x=10 را به دست میدهد. در اینجا 10 نقش واسطه حسابی بین دو عدد 8 و 12 را دارد.
چالشهای مفهومی و رفع ابهام
❓ آیا واسطه حسابی همان میانگین است؟
بله، در حالت خاص که تنها یک عدد بین دو عدد مفروض درج میکنیم، آن عدد برابر با میانگین حسابی دو عدد است. اما اگر تعداد واسطهها بیشتر از یکی باشد، دیگر خود آن اعداد میانی میانگین دو سر نیستند؛ بلکه کل دنباله حول میانگین کل متوازن است.
❓ اگر عدد اول بزرگتر از عدد دوم باشد، چه اتفاقی میافتد؟
در این صورت قدرنسبت (d) منفی خواهد شد. باز هم میتوان واسطههای حسابی را محاسبه کرد، با این تفاوت که دنباله نزولی میشود. برای مثال بین 20 و 8 با درج دو واسطه: $d = \frac{8-20}{3} = -4$ و دنباله 20, 16, 12, 8 به دست میآید.
❓ آیا واسطههای حسابی لزوماً اعداد صحیح هستند؟
خیر. بسته به مقدار a، b و n، قدرنسبت میتواند کسری باشد و در نتیجه واسطهها اعداد گویا یا اعشاری خواهند شد. برای نمونه بین 1 و 2 با درج یک واسطه، عدد 1.5 به دست میآید.
پاورقی
1دنباله حسابی (Arithmetic Progression): به دنبالهای از اعداد گویند که اختلاف هر دو جمله متوالی آن مقداری ثابت باشد.
2قدرنسبت یا تفاضل مشترک (Common Difference): مقدار ثابتی که با اضافه شدن به هر جمله، جمله بعدی در یک دنباله حسابی ساخته میشود.
3برونیابی (Extrapolation): تخمین مقادیر خارج از بازه دادهها با استفاده از روند موجود.
4درونیابی (Interpolation): تخمین مقادیر بین دادههای معلوم با فرض پیروی از یک الگو (مانند خطی بودن).
