جمله عمومی دنباله حسابی: فرمولی که جمله nام را بر حسب n مشخص میکند
۱. تعریف و اجزای اصلی دنباله حسابی
دنباله حسابی (Arithmetic Progression) به دنبالهای از اعداد گفته میشود که در آن تفاضل هر دو جمله متوالی مقداری ثابت و یکسان باشد . این عدد ثابت را قدرنسبت (Common Difference) مینامیم و با حرف $d$ نمایش میدهیم. به عبارت سادهتر، برای رسیدن از یک جمله به جمله بعدی کافی است قدرنسبت را به جمله قبلی اضافه کنیم . برای مثال، دنباله $3, 7, 11, 15, \dots$ یک دنباله حسابی است زیرا: $7-3=4$ ، $11-7=4$ و $15-11=4$ . در اینجا قدرنسبت $d=4$ و جمله اول $a_1=3$ است. قدرنسبت میتواند مثبت، منفی یا حتی صفر باشد که به ترتیب دنبالههای افزایشی، کاهشی یا ثابت را نتیجه میدهد .۲. فرمول طلایی جمله عمومی: $a_n = a_1 + (n-1)d$
مهمترین فرمول در دنبالههای حسابی، جمله عمومی (General Term) است که به ما امکان میدهد مقدار هر جملهای را بدون نیاز به نوشتن تمام جملات قبلی، مستقیماً محاسبه کنیم . اگر جمله اول $a_1$ و قدرنسبت $d$ باشد، آنگاه جمله $n$-ام ($a_n$) برابر است با:۳. الگوی خطی و شکل سادهشده جمله عمومی
فرمول جمله عمومی را میتوان به صورت یک عبارت خطی (Linear Pattern) بازنویسی کرد که رابطه دنباله حسابی را با شیب و عرض از مبدأ نشان میدهد :۴. محاسبه قدرنسبت و جمله اول از روی دو جمله غیرمتوالی
گاهی اوقات به جای جمله اول، دو جمله غیرمتوالی از دنباله داده میشود. در این حالت میتوانیم با استفاده از فرمول زیر، قدرنسبت را مستقیماً محاسبه کنیم :۵. خواص اندیسها و میانگین حسابی
دنبالههای حسابی دارای ویژگیهای جالبی هستند که محاسبات را سادهتر میکنند. یکی از مهمترین آنها خاصیت اندیسها (Index Property) است :| نوع دنباله | مثال | جمله عمومی | ویژگی کلیدی |
|---|---|---|---|
| حسابی | $2, 5, 8, 11, \dots$ | $a_n = a_1 + (n-1)d$ | تفاضل ثابت |
| هندسی | $3, 6, 12, 24, \dots$ | $a_n = a_1 \times r^{n-1}$ | نسبت ثابت |
| فیبوناچی | $1, 1, 2, 3, 5, \dots$ | $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ | حاصل جمع دو جمله قبلی |
۶. کاربرد عملی: برنامهریزی مالی و پسانداز
فرض کنید تصمیم دارید هر هفته مبلغ ثابتی را به پسانداز خود اضافه کنید. اگر هفته اول $10000$ تومان و هر هفته $5000$ تومان به آن اضافه کنید، موجودی حساب شما در هفتههای متوالی یک دنباله حسابی با قدرنسبت $5000$ را تشکیل میدهد . میتوانید با فرمول جمله عمومی، موجودی خود را در هفته $n$-ام پیشبینی کنید:۷. چالشهای مفهومی
❓ اگر در یک دنباله حسابی، $a_5 = 15$ و $a_9 = 27$ باشد، جمله عمومی چگونه به دست میآید؟
✅ ابتدا قدرنسبت را از فرمول اختلاف محاسبه میکنیم: $d = \frac{27-15}{9-5} = \frac{12}{4} = 3$. سپس با قرار دادن در $a_5$ داریم: $15 = a_1 + 4 \times 3 \Rightarrow a_1 = 3$. بنابراین جمله عمومی $a_n = 3 + (n-1) \times 3 = 3n$ است.
❓ چگونه میتوان تشخیص داد که یک الگوی عددی مفروض، دنباله حسابی است؟
✅ کافی است تفاضل چند جفت از جملات متوالی را محاسبه کنیم. اگر این تفاضلها همواره مقدار ثابتی بودند (مثلاً $a_2-a_1 = a_3-a_2 = a_4-a_3$)، آنگاه دنباله از نوع حسابی است . در غیر این صورت، دنباله حسابی نیست.
❓ اگر قدرنسبت یک دنباله حسابی صفر باشد، شکل جمله عمومی چگونه خواهد بود؟
✅ اگر $d=0$ باشد، آنگاه فرمول جمله عمومی به $a_n = a_1 + (n-1) \times 0 = a_1$ تبدیل میشود. یعنی تمام جملات دنباله با جمله اول برابر و دنباله ثابت خواهد بود .
پاورقی
1دنباله حسابی (Arithmetic Sequence) : به دنبالهای از اعداد گفته میشود که در آن اختلاف هر دو جمله متوالی مقداری ثابت و یکسان باشد .
2قدرنسبت (Common Difference) : عدد ثابتی که با اضافه شدن آن به هر جمله، جمله بعدی در دنباله حسابی به دست میآید و با حرف d نمایش داده میشود .
3جمله عمومی (General Term) : عبارتی بر حسب $n$ که مقدار هر جمله از دنباله را بر اساس شماره آن مشخص میکند .
4الگوی خطی (Linear Pattern) : نمایش دنباله حسابی در قالب یک تابع خطی به صورت $a_n = d \times n + (a_1-d)$ که نشاندهنده رابطه مستقیم بین شماره جمله و مقدار جمله است .
5خاصیت اندیسها (Index Properties) : ویژگیهایی در دنبالههای حسابی که رابطه بین اندیسها و مقادیر جملات را بیان میکند، مانند $m+n=p+q \Rightarrow a_m+a_n=a_p+a_q$ .
