اعوجاج نقشه: وقتی کره زمین روی کاغذ صاف میشود
چرا هیچ نقشهای بینقص نیست؟
تصور کنید بخواهید پوست یک پرتقال را جدا کنید و آن را کاملاً صاف روی میز پهن کنید. بدون اینکه پوست پاره شود یا کش بیاید، این کار ممکن نیست. سطح زمین هم روی یک کره (ژئوئید) قرار دارد و نقشهها سعی میکنند این سطح خمیده را روی یک صفحهٔ صاف (کاغذ یا صفحه نمایش) نشان دهند. به ناچار، در این فرایند که «طرح نقشه» یا «پروجکشن»1 نام دارد، برخی از ویژگیهای سطح زمین مانند شکل، اندازه، فاصله یا جهت دچار تغییر میشوند. به این تغییرات، اصطلاحاً «اعوجاج»2 میگویند.
مهمترین نکته این است که یک نقشه نمیتواند همزمان همهٔ ویژگیها را بهدرستی نشان دهد. نقشهنگار باید با توجه به کاربرد نقشه تصمیم بگیرد کدام ویژگی را دستنخورده نگه دارد و بقیه را فدای آن کند. برای مثال، در نقشهٔ مسیریابی، صحت زاویه (و در نتیجه جهتیابی) اهمیت بیشتری دارد، در حالی که در نقشهٔ تراکم جمعیت، صحت مساحت اهمیت حیاتی دارد.
چهار گانهٔ اعوجاج: شکل، اندازه، فاصله و جهت
به طور کلی، اعوجاج در نقشهها به چهار دستهٔ اصلی تقسیم میشود. هر پروجکشن سعی میکند یکی یا دو مورد از این موارد را به حداقل برساند.
| نوع اعوجاج | توضیح ساده | مثال تأثیرگذار |
|---|---|---|
| تغییر شکل | شکل یک ناحیه (مثل یک کشور) روی نقشه با شکل واقعی آن روی کره زمین متفاوت است. مثلاً یک دایره ممکن است به بیضی تبدیل شود. | کشیده شدن قطبها در نقشههای استوانهای |
| تغییر اندازه (مساحت) | نسبت مساحتها روی نقشه با نسبت واقعی آنها مطابقت ندارد. کشورها بزرگتر یا کوچکتر از اندازهٔ واقعیشان دیده میشوند. | بزرگنمایی گرینلند و قطبها در نقشه مرکاتور |
| تغییر فاصله | فاصلهٔ دو نقطه روی نقشه با فاصلهٔ واقعی آنها (خط مستقیم روی کره) برابر نیست. مقیاس نقشه در همه جا یکسان نیست. | کوتاهترین مسیر بین دو قاره (خط مستقیم روی نقشه) معمولاً یک خط منحنی است. |
| تغییر جهت (زاویه) | زاویهٔ بین دو خط روی نقشه با زاویهٔ متناظر روی زمین فرق میکند. در نتیجه، جهتیابی دچار خطا میشود. | خطا در تعیین قبله با نقشههای نامناسب |
هندسهٔ اعوجاج: بیضی واپیچش
برای درک بهتر اینکه اعوجاج در یک نقطه از نقشه چگونه است، نقشهنگاران فرانسوی به نام «بیضی واپیچش» یا «اندیکاتریس تیسو»3 استفاده میکنند. فرض کنید روی کره زمین یک دایرهٔ بسیار کوچک رسم کنیم. اگر این دایره در نقشه به صورت یک دایره (با همان اندازه) نمایش داده شود، یعنی در آن نقطه هیچ اعوجاج شکلی رخ نداده است. اگر به صورت یک بیضی درآید، شکل آن بیضی (طویل بودن و زاویهٔ چرخش) نشاندهندهٔ نوع و شدت اعوجاج در آن نقطه است.
با استفاده از این ابزار میتوان به سادگی تشخیص داد که یک پروجکشن در کدام نواحی زمین بیشترین خطا را دارد. معمولاً اعوجاج در حاشیههای نقشه و دور از خطوط مبنا (مثل استوا یا نصفالنهار مرکزی) به حداکثر میرسد.
$h = \frac{1}{R} \sqrt{ \left(\frac{\partial x}{\partial \phi}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial \phi}\right)^2 }$
که در آن $R$ شعاع زمین، $\phi$ عرض جغرافیایی و $(x,y)$ مختصات روی نقشه است.
معروفترین خانوادههای طرحهای نقشه
روشهای زیادی برای انتقال سطح کره به صفحه ابداع شده که هر کدام نوع خاصی از اعوجاج را به حداقل میرسانند. سه خانوادهٔ اصلی طرحهای نقشه عبارتند از:
- طرحهای استوانهای: مانند پیچیدن یک استوانه به دور کره و تصویر کردن نقاط روی آن. معروفترین نمونه، طرح مرکاتور است. این طرح زوایا (و در نتیجه جهت کشتیرانی) را بهدرستی نشان میدهد اما مساحتها را در قطبها به شدت بزرگ میکند.
- طرحهای مخروطی: یک مخروط روی کره قرار میگیرد و نقاط روی مخروط تصویر میشوند. برای نمایش کشورهای واقع در عرضهای جغرافیایی میانی (مثل ایران، آمریکا و اروپا) بسیار مناسباند و اعوجاج مساحت و شکل را در آن نواحی کم میکنند.
- طرحهای آزیموتی (صفحهای): صفحه به طور مستقیم بر یک نقطه از کره مماس میشود. فواصل از مرکز نقشه را بهدرستی نشان میدهند و برای نقشههای قطبی و مسیریابی رادیویی کاربرد دارند.
کاربرد عملی: کدام نقشه را برای کدام کار انتخاب کنیم؟
انتخاب طرح نقشه کاملاً به هدف ما بستگی دارد. اگر ناخدای یک کشتی هستید و باید در دریای آزاد مسیر صحیح را حفظ کنید، طرح مرکاتور بهترین گزینه است، چون زاویهها (آزیموت) را درست نشان میدهد و خط ثابت روی نقشه، مسیری با زاویه ثابت روی زمین است. اما اگر میخواهید تراکم جمعیت یا میزان انتشار یک پدیده را در جهان مقایسه کنید، باید از طرحهای «مساویمساحت» استفاده کنید، مثل طرح مولواید یا طرح گال-پیترز. در این طرحها، هر چند شکل کشورها کشیده یا فشرده میشود، اما اندازهٔ واقعی آنها حفظ میشود و مقایسهٔ مساحت ممکن است.
| نام طرح | ویژگی محافظتشده | کاربرد اصلی | میزان اعوجاج شکل |
|---|---|---|---|
| مرکاتور | زاویه (جهت) | کشتیرانی، نقشههای آنلاین | شدید (در قطبها) |
| گال-پیترز | مساحت | نقشههای موضوعی (تراکم، پراکندگی) | شدید (کشیدگی) |
| رابینسون | چشمنواز (مصالحه) | نقشههای دیواری مدارس | متوسط |
| آلبرس مساوی مساحت | مساحت | نقشههای ایران و مناطق معتدل | کم (در عرضهای میانی) |
چالشهای مفهومی
این نقشهها از طرح مرکاتور استفاده میکنند که زاویهها را درست نشان میدهد، اما به دلیل ریاضیات حاکم بر آن، نواحی نزدیک به قطبها (مثل گرینلند و قطب جنوب) به شدت بزرگنمایی میشوند تا جهتیابی (مثلاً چرخش به راست) در همه جای نقشه درست باشد. این یک مصالحه بین صحت شکل و صحت مساحت است.
خیر، از نظر ریاضی ثابت شده است که نمیتوان سطح یک کره را بدون کشیدگی، پارگی یا چروکیدگی روی یک صفحه صاف نمایش داد. این موضوع به قضیهای به نام «ناقصناپذیری صفحه» (Theorema Egregium) از گاوس، ریاضیدان بزرگ، برمیگردد. بهترین کاری که میتوان کرد، انتخاب طرحی است که اعوجاج را برای یک کاربرد خاص به حداقل برساند.
طرحهای مخروطی برای عرضهای جغرافیایی میانی (حدود ۲۵ تا ۴۵ درجه) طراحی شدهاند و اعوجاج در این ناحیه کمترین مقدار است. با تنظیم دقیق مخروط بر روی موازیهای استاندارد (معمولاً یکی در شمال و یکی در جنوب ایران)، خطای مساحت و شکل در سراسر کشور به حداقل ممکن میرسد و تغییرات محسوس نیستند.
اعوجاج جزء جداییناپذیر هر نقشهای است که از کره زمین تهیه میشود. ما نمیتوانیم نقشهای کاملاً بینقص داشته باشیم، اما میتوانیم با شناخت انواع اعوجاج (شکل، مساحت، فاصله و جهت) و آشنایی با طرحهای مختلف نقشه، مناسبترین نقشه را برای کار خود انتخاب کنیم. به یاد داشته باشیم که هر نقشه، تنها یکی از جنبههای واقعیت زمینی را به درستی نشان میدهد و بقیه را قربانی میکند. این آگاهی به ما کمک میکند تا هنگام خواندن نقشهها، دچار سوءتفاهم نشویم.
پاورقی
2 اعوجاج (Distortion): هرگونه تغییر در شکل، مساحت، فاصله یا زاویه در نقشه نسبت به مقادیر متناظر روی کره زمین.
3 اندیکاتریس تیسو (Tissot's Indicatrix): روشی گرافیکی برای نمایش نوع و میزان اعوجاج در نقاط مختلف یک نقشه که توسط ریاضیدان فرانسوی نیکولا تیسو ابداع شد.
