دستکم یکی: قرار گرفتن در اجتماع دو مجموعه (A ∪ B)
از جعبهٔ اسباببازی تا شکل ون؛ زبان مشترک ریاضی
فرض کن دو جعبهٔ اسباببازی داری: جعبهٔ ماشینها (M) و جعبهٔ عروسکها (C). مامان میگوید: «هر کدام از اسباببازیهایی که دستکم در یکی از این دو جعبه است را جمع کن». یعنی چه؟ یعنی ماشینها، عروسکها و حتی اگر یک عروسکماشین داشته باشی که در هر دو جعبه باشد، فقط یک بار آن را برمیداری. این دقیقاً مفهوم اجتماع دو مجموعه است: $A \cup B$. در زبان ریاضی میگوییم: عضو مجموعهٔ $A \cup B$ هستی اگر دستکم در یکی از دو مجموعه عضویت داشته باشی.
مثال ملموس: در کلاس ما ۲۵ دانشآموز هستند. ۱۲ نفر فوتبال دوست دارند (F)، ۱۵ نفر والیبال دوست دارند (V) و ۵ نفر هر دو ورزش را دوست دارند. دانشآموزی که «دستکم یکی از این دو ورزش» را دوست دارد یعنی عضو اجتماع F و V است. اگر این عضوها را بشماریم نباید ۱۲+۱۵ کنیم، چون ۵ نفر دوبار شمرده میشوند. پس: $|F \cup V| = |F| + |V| - |F \cap V| = 12 + 15 - 5 = 22$.
نمادها، فرمولها و قاعدهٔ شمردن دوتایی
برای نوشتن اجتماع دو مجموعه از نماد $\cup$ استفاده میکنیم. این نماد شبیه فنجان است؛ فنجان که گنجایش بیشتری نسبت به اشتراک (∩) دارد. قاعدهٔ اصلی شمارش اعضای اجتماع دو مجموعهٔ متناهی (تعداد اعضا) چنین است:
چرا منها؟ چون اعضایی که در اشتراک هستند، هم در A و هم در B شمرده شدهاند؛ برای اینکه فقط یک بار حساب شوند، یک بار آنها را کم میکنیم. اگر دو مجموعه هیچ عضو مشترکی نداشته باشند (مجموعههای جدا[1])، آنگاه $A \cap B = \varnothing$ و $|A \cup B| = |A|+|B|$.
| وضعیت اشتراک | فرمول اجتماع | مثال عددی | برچسب |
|---|---|---|---|
| بدون عضو مشترک (جدا) | $|A\cup B|=|A|+|B|$ | |A|=4, |B|=3 → 7 | ساده |
| دارای اشتراک غیرتهی | $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ | |A|=8, |B|=6, |A∩B|=2 → 12 | فرمول اصلی |
| یک مجموعه زیرمجموعهٔ دیگری است | $|A\cup B|=max(|A|,|B|)$ | A⊆B , |A|=3, |B|=7 → 7 | اجتماع برابر بزرگتر |
کاربرد واقعی: نظرسنجی، خرید و برنامهریزی سفر
مثال عینی از زندگی روزمره: خانوادهای قصد خرید بستنی دارد. ۷ نفر شکلاتی دوست دارند، ۵ نفر توتفرنگی و ۳ نفر هر دو طعم را میپسندند. اگر بخواهیم دستکم یکی از دو طعم را بخریم، باید برای چند نفر بستنی تهیه کنیم؟ $|S \cup T| = 7 + 5 - 3 = 9$. یعنی باید ۹ واحد بستنی بخریم نه ۱۲ واحد.
مثال دیگر: در یک مدرسه، دانشآموزان باید دستکم یکی از دو درس «برنامهنویسی» یا «رباتیک» را انتخاب کنند. آمار نشان میدهد ۴۰ نفر برنامهنویسی، ۳۰ نفر رباتیک و ۱۰ نفر هر دو را انتخاب کردهاند. تعداد کل شرکتکنندگان در این درسها: $40+30-10=60$ نفر.
همچنین در برنامهریزی سفر: گردشگران یا به موزه (M) میروند یا به بازار (B) یا به هر دو. با فرمول اجتماع میشود تعداد گردشگرانی را که دستکم از یکی از این دو مکان بازدید کردهاند محاسبه کرد و برای بلیطهای گروهی تخفیف گرفت.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
❓ پرسش ۱: چرا نمیشود فقط بگوییم |A| + |B| ؟
پاسخ: چون اگر عضوی هم در A و هم در B باشد، در |A| یک بار و در |B| یک بار شمرده میشود. در اجتماع باید آن عضو را فقط یک بار به حساب آورد؛ بنابراین یک بار آن عضو مشترک را کم میکنیم.
❓ پرسش ۲: تفاوت «اجتماع» و «اشتراک» در زبان ساده چیست؟
پاسخ: اشتراک یعنی «همزمان در هر دو» (و)، اما اجتماع یعنی «دستکم در یکی» (یا). اجتماع همیشه از هر یک از مجموعهها بزرگتر یا مساوی است، ولی اشتراک کوچکتر یا مساوی.
❓ پرسش ۳: اگر سه مجموعه داشته باشیم، فرمول «دستکم یکی» چگونه میشود؟
پاسخ: قاعده بهصورت $|A\cup B\cup C| = |A|+|B|+|C| - |A\cap B| - |A\cap C| - |B\cap C| + |A\cap B\cap C|$. به این اصل، «اصل شمول و عدم شمول» میگویند.
پاورقی
[1] مجموعههای جدا (Disjoint Sets): دو مجموعهای که هیچ عضو مشترکی ندارند. $A \cap B = \varnothing$
[2] نماد اجتماع (Union Symbol): برگرفته از حرف اول واژهٔ Union؛ شکل ∪ شبیه جام است.
[3] اصل شمول و عدم شمول (Inclusion–Exclusion Principle): روش شمارش دقیق اعضای اجتماع چند مجموعه.