متمم مجموعه فیلمهای طنز نسبت به مجموعه مرجع فیلمها
۱. مجموعه مرجع و مجموعه طنز: داستان دو قفسه
فرض کن در یک فروشگاه بزرگ فیلم، یک قفسه داریم به نام «مجموعه مرجع فیلمها». این قفسه شامل همهٔ فیلمهایی است که در فروشگاه وجود دارد. حالا صاحب فروشگاه یک قفسهٔ دیگر کنارش میگذارد به نام «مجموعه فیلمهای طنز» که فقط فیلمهای خندهدار را در خود جای داده است. اگر از تو بپرسند: «چه فیلمهایی در قفسهٔ مرجع هستند ولی در قفسهٔ طنز نیستند؟» جواب میشود: فیلمهای غیرطنز. به زبان ریاضی به این «متمم مجموعهٔ طنز نسبت به مجموعهٔ مرجع» میگویند.
برای اینکه بهتر یاد بگیری، فرض کن مجموعهٔ مرجع م شامل ۶ فیلم است: {A, B, C, D, E, F}. فیلمهای A, C, E طنز هستند و بقیه طنز نیستند. بنابراین مجموعهٔ طنز ط میشود: {A, C, E}. حالا متمم ط نسبت به م یعنی فیلمهایی که در م هستند ولی در ط نیستند: {B, D, F}. پس این سه فیلم غیرطنز، متمم را تشکیل میدهند.
| نام فیلم | در مجموعهٔ مرجع (م) | در مجموعهٔ طنز (ط) | عضو متمم (غیرطنز) |
|---|---|---|---|
| فیلم آ (A) | بله | بله | — |
| فیلم ب (B) | بله | خیر | غیرطنز |
| فیلم پ (C) | بله | بله | — |
| فیلم ت (D) | بله | خیر | غیرطنز |
| فیلم ث (E) | بله | بله | — |
| فیلم ج (F) | بله | خیر | غیرطنز |
۲. نمایش با نمودار ون و فرمول
دانشمندان ریاضی برای نشان دادن متمم از نمودار ون[۱] استفاده میکنند. یک مستطیل بزرگ به نام جهان (همان مجموعهٔ مرجع) رسم میکنیم. داخل آن یک دایره برای مجموعهٔ طنز میکشیم. هر چه خارج از دایره و داخل مستطیل باشد، متمم مجموعهٔ طنز نسبت به مرجع است. یعنی همان فیلمهای غیرطنز. برای نشان دادن این مفهوم با فرمول مینویسیم:
$M^c = U - M$فرمول متمم
که در آن $U$ مجموعهٔ مرجع (جهان) و $M$ مجموعهٔ طنز است. $M^c$ یعنی متمم. به بیان ساده: هر فیلمی که در جهان باشد و در مجموعهٔ طنز نباشد.
حالا اگر یک مجموعهٔ مرجع بزرگتر داشته باشیم، مثلاً $U = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ و مجموعهٔ طنز $M = \{2,4,6,8,10\}$ (فیلمهای با شمارهٔ زوج)، آنگاه متمم میشود $\{1,3,5,7,9\}$ یعنی فیلمهای فرد. این مثال ساده کمک میکند الگوی طنز و غیرطنز را در هر کتابخانهای تشخیص دهیم.
۳. کاربرد عملی: مدیریت سبد تماشای خانگی
رضا یک نوجوان ۱۳ ساله است. پدرش یک کتابخانهٔ دیجیتال شامل ۵۰ فیلم دارد. رضا تصمیم میگیرد فیلمهایی را که طنز نیستند (مثل فیلمهای ترسناک، تاریخی، علمی) برای یک مهمانی کنار بگذارد. او باید «متمم مجموعهٔ فیلمهای طنز نسبت به مجموعهٔ مرجع پدر» را پیدا کند. رضا ابتدا فهرست همهٔ فیلمها را چک میکند. هر فیلم طنز را با رنگ زرد علامت میزند. بعد بقیهٔ فیلمها (بدون رنگ زرد) همان متمم هستند. حالا او میداند برای مهمانی فقط فیلمهای غیرطنز را انتخاب کند. این یعنی استفاده از متمم در زندگی واقعی.
۴. اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
✅ پاسخ: خیر، اگر مجموعهٔ طنز هیچ عضوی نداشته باشد (تهی باشد)، متمم برابر با همهٔ مجموعهٔ مرجع میشود. مثلاً اگر در فروشگاه هیچ فیلم طنزی نباشد، متمم مجموعهٔ طنز نسبت به مرجع، همهٔ فیلمهای فروشگاه است.
✅ پاسخ: چون درست مثل تفریق، اعضای مجموعهٔ دوم را از مجموعهٔ اول برمیداریم. $A-B$ یعنی هرچه در $A$ هست که در $B$ نیست. وقتی $A$ مجموعهٔ مرجع باشد، همان متمم است.
✅ پاسخ: خیر. متمم همیشه زیرمجموعهٔ مجموعهٔ مرجع است. اگر فیلمی اصلاً در فروشگاه نباشد، نه در مجموعهٔ طنز است و نه در متمم.
۵. متمم در مجموعههای اعداد (برای دانشآموزان دبیرستان)
حالا که با فیلمها خوب متوجه شدی، برویم سراغ اعداد. مجموعهٔ مرجع را اعداد طبیعی $\mathbb{N} = \{1,2,3,\dots\}$ در نظر بگیر. مجموعهٔ اعداد زوج را ز بنام. متمم مجموعهٔ ز نسبت به $\mathbb{N}$ میشود مجموعهٔ اعداد فرد. یعنی اگر تمام اعداد طبیعی را روی یک خط طولانی تصور کنی، اعداد فرد نقطههایی هستند که در مجموعهٔ زوج نیستند. این متمم تا بینهایت ادامه دارد.
حتی در مجموعههای ناپیوسته مثل فیلمها، متمم همیشه مشخص است. به جدول زیر نگاه کن:
| مجموعهٔ مرجع | مجموعهٔ طنز (مثال) | متمم (غیرطنز) |
|---|---|---|
| {۱،۲،۳،۴،۵} | {۲،۴} | {۱،۳،۵} |
| {a,b,c,d,e,f} | {a,c,e} | {b,d,f} |
| دانشآموزان کلاس | کفشپوشهای کتانی | کفشپوشهای غیرکتانی |
۶. رابطهٔ متمم با اجتماع و اشتراک
وقتی با دو یا چند مجموعه کار میکنیم، متمم قوانین جالبی دارد. مثلاً متمم اشتراک دو مجموعه برابر است با اجتماع متممهای آنها. این قانون به نام قوانین دو مورگان[۲] معروف است. اگر مجموعههای الف و ب را داشته باشیم:
$(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$
$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$
یعنی: فیلمی که هم طنز و هم اکشن نباشد (اشتراک طنز و اکشن) یعنی فیلمی که یا غیرطنز است یا غیراکشن. مثال فیلمی که در مجموعهٔ طنز نیست یا در مجموعهٔ اکشن نیست. این قاعده به حل مسئلههای پیچیده کمک میکند.
پاورقی
[۱] نمودار ون (Venn Diagram): شکلهایی با دایرههای همپوشان برای نمایش مجموعهها و روابط میان آنها.
[۲] قوانین دو مورگان (De Morgan's laws): دو قاعده در جبر مجموعهها که متمم اشتراک و اجتماع را به یکدیگر مرتبط میکند.
[۳] متمم (Complement): مجموعهٔ همهٔ اعضای مجموعهٔ مرجع که عضو یک زیرمجموعهٔ مشخص نیستند.
