اصل جمع؛ فرمول تعداد اعضای اجتماع دو مجموعه
مفهوم مجموعه و عضوهای آن
در زندگی روزمره، همواره با دستهبندیهایی سروکار داریم که به آنها مجموعه میگوییم. برای نمونه، مجموعهٔ دانشآموزان یک کلاس، مجموعهٔ کتابهای یک کتابخانه، یا مجموعهٔ رنگهای پرچم ایران. به هر یک از افراد یا اشیایی که در این دستهها قرار میگیرند، عضو یا عنصر مجموعه گفته میشود. گاهی نیاز داریم تعداد اعضای یک یا چند مجموعه را بشماریم و رابطهٔ بین آنها را پیدا کنیم. اینجاست که فرمولهای شمارش مانند اصل جمع به کمک ما میآیند.
در ریاضیات، تعداد اعضای یک مجموعهٔ متناهی1 را با نماد $n(A)$ یا $|A|$ نمایش میدهند. وقتی دو مجموعه داشته باشیم، ممکن است برخی اعضا در هر دو مجموعه مشترک باشند. این اعضای مشترک، اشتراک دو مجموعه را تشکیل میدهند که با نماد $A \cap B$ نشان داده میشود.
چرا نمیتوانیم صرفاً دو عدد را جمع کنیم؟
فرض کنید در یک مدرسه، $n(A)=30$ نفر در کلاس فوتبال و $n(B)=20$ نفر در کلاس شنا ثبتنام کردهاند. اگر بخواهیم بدانیم چند دانشآموز حداقل در یکی از این دو کلاس شرکت کردهاند، ممکن است وسوسه شویم که $30+20=50$ را جواب دهیم. اما اگر $5$ نفر در هر دو کلاس عضو باشند، در این جمع ساده، این $5$ نفر دو بار شمرده شدهاند. بنابراین تعداد واقعی شرکتکنندگان $50-5=45$ نفر خواهد بود. این خطای شمارش، دلیل اصلی نیاز به یک فرمول دقیق است.
فرمول اصلی اجتماع دو مجموعه
برای جلوگیری از شمارش مضاعف اعضای مشترک، از فرمول زیر استفاده میکنیم:
در این فرمول، نماد $A \cup B$ بیانگر اجتماع دو مجموعه است؛ یعنی مجموعهای از تمام اعضایی که حداقل در یکی از دو مجموعه $A$ یا $B$ حضور دارند. این فرمول به ما میگوید که برای یافتن تعداد کل اعضای اجتماع، ابتدا اعضای دو مجموعه را با هم جمع میکنیم و سپس اعضای مشترک را که دو بار شمرده شدهاند، یک بار کم میکنیم.
مثال کاربردی از محیط مدرسه
در یک دبیرستان، از دانشآموزان خواسته شده است که حداقل یکی از دو درس «برنامهنویسی» یا «کارگاه کارآفرینی» را انتخاب کنند. $35$ نفر برنامهنویسی، $28$ نفر کارآفرینی و $12$ نفر هر دو درس را انتخاب کردهاند. تعداد دانشآموزانی که حداقل یکی از این دو درس را گرفتهاند، چند نفر است؟
با قرار دادن اعداد در فرمول داریم:
بنابراین $51$ نفر حداقل در یکی از این دو کلاس شرکت کردهاند.
مقایسه حالتهای مختلف اشتراک
قدرت این فرمول در شرایط گوناگون به خوبی نمایان میشود. جدول زیر حالتهای مختلف رابطهٔ دو مجموعه و تعداد اعضای اجتماع را نشان میدهد.
| شرح حالت | مقدار $n(A \cap B)$ | فرمول | نتیجه |
|---|---|---|---|
| مجموعههای جدا (تفکیک شده) | $0$ | $n(A) + n(B)$ | جمع ساده |
| مجموعههای همپوشان (دارای اشتراک) | $k \gt 0$ | $n(A) + n(B) - k$ | جمع منهای تداخل |
| مجموعههای تودرتو (زیرمجموعه) | $n(A)$ (اگر $A \subset B$) | $n(B)$ | اجتماع برابر مجموعهٔ بزرگتر |
کاربرد در مسائل آمار و نظرسنجی
فرض کنید در یک نظرسنجی از $100$ نفر پرسیده شده است که آیا قهوه مینوشند یا چای. نتایج نشان داد $70$ نفر قهوهنوش، $55$ نفر چاینوش و $30$ نفر هر دو نوشیدنی را مصرف میکنند. هدف، یافتن تعداد افرادی است که حداقل یکی از این دو نوشیدنی را مصرف میکنند. با استفاده از فرمول:
بنابراین $95$ نفر قهوه یا چای مینوشند. همچنین میتوان فهمید $100-95=5$ نفر هیچکدام از این دو نوشیدنی را مصرف نمیکنند.
چالشهای مفهومی
۱. اگر اشتراک دو مجموعه از یکی از آنها بزرگتر باشد، چه اتفاقی میافتد؟
از نظر تئوری مجموعهها، اشتراک دو مجموعه همیشه زیرمجموعهای از هر یک از آنهاست. بنابراین تعداد اعضای اشتراک نمیتواند از تعداد اعضای هیچکدام از مجموعهها بیشتر شود. $n(A \cap B) \le n(A)$ و $n(A \cap B) \le n(B)$ همواره برقرار است. پس چنین حالتی غیرممکن است.
۲. آیا این فرمول برای سه مجموعه نیز قابل گسترش است؟
بله. برای سه مجموعه، فرمول به صورت $n(A \cup B \cup C) = n(A)+n(B)+n(C)-n(A \cap B)-n(A \cap C)-n(B \cap C)+n(A \cap B \cap C)$ در میآید. این قاعده را «اصل شمول و عدم شمول»2 مینامند.
۳. اگر اعضای مجموعهها نامشخص باشند و فقط تعدادها را بدانیم، چگونه میتوان از صحت دادهها مطمئن شد؟
همیشه باید بررسی کرد که آیا اعداد داده شده با واقعیت منطقی سازگارند. برای مثال، تعداد اعضای اشتراک نباید از هیچکدام از مجموعهها بیشتر باشد و همچنین $n(A \cup B)$ نباید از مجموع $n(A)$ و $n(B)$ بیشتر شود. اگر دادهها این شرایط را نقض کنند، در گزارش نظرسنجی یا شمارش اشتباهی رخ داده است.
پاورقی
1 مجموعهٔ متناهی (Finite Set): مجموعهای که تعداد اعضای آن یک عدد طبیعی (صفر، یک، دو، ...) قابل شمارش باشد.
2 اصل شمول و عدم شمول (Inclusion–Exclusion Principle): قاعدهای برای شمارش تعداد اعضای اجتماع چند مجموعه که با در نظر گرفتن اشتراکهای دوتایی، سهتایی و ... از شمارش مضاعف جلوگیری میکند.
