مجموعه نامتناهی: مجموعه‌ای که تعداد اعضای آن را نتوان با یک عدد بیان کرد و از هر عددی بزرگ‌تر در نظر گرفته می‌شود

فرض کن یک کیسه داریم که هر بار دست می‌کنیم، یک تیله جدید از هیچ درون آن ظاهر می‌شود. هرگز به ته کیسه نمی‌رسیم. این کیسه نمادی از یک «مجموعه نامتناهی» است. بی‌نهایت یعنی بی‌پایان در ریاضیات، مجموعه‌ی اعداد طبیعی $ \{1,2,3,4,\dots\} $ یک مجموعه نامتناهی است. هرچقدر سریع بشماری، همیشه عدد بزرگتری وجود دارد که کسی آن را نگفته است.

مثال ملموس: تصور کن کتابخانه‌ای داری که هر دقیقه یک کتاب جدید به آن اضافه می‌شود و هیچ‌گاه این روند متوقف نمی‌شود. تعداد کتاب‌های این کتابخانه را نمی‌توان با یک عدد ثابت مثل میلیون یا میلیارد نشان داد؛ این تعداد از هر عددی بزرگ‌تر است. چنین کتابخانه‌ای یک مجموعه نامتناهی از کتاب‌ها دارد.

در مجموعه‌های متناهی، عضوی را به عنوان اولین برمی‌گزینیم، سپس دوم، سوم و ... تا به آخرین عضو برسیم. مثلاً مجموعه‌ی حروف الفبا $ 32 $ عضو دارد. اما در مجموعه‌ی نامتناهی، «آخرین عضو» معنا ندارد. گئورگ کانتور^[1] ریاضیدان بزرگ ثابت کرد حتی نمی‌توان برای بی‌نهایت یک عدد معمولی در نظر گرفت. او به جای «تعداد» از واژه‌ی «اندازه» یا «هم‌اندازگی» استفاده کرد.

آیا همه‌ی مجموعه‌های نامتناهی با هم برابرند؟ خیر! کانتور نشان داد بعضی بی‌نهایت‌ها از بعضی دیگر بزرگ‌ترند. مثلاً مجموعه اعداد طبیعی $ \mathbb{N} $ نامتناهی است. مجموعه اعداد حقیقی $ \mathbb{R} $ هم نامتناهی است؛ اما می‌توان نشان داد تعداد نقاط روی یک خط (اعداد حقیقی) بسیار بیشتر از تعداد اعداد طبیعی است. این مفهوم «اندازه‌ی مجموعه‌های نامتناهی» یا «کاردینالیتی»^[2] نام دارد.

یک داستان کوتاه: علی و زهرا مشغول بازی هستند. علی می‌گوید: «من بی‌نهایت توپ قرمز دارم که شماره ۱،۲،۳،... روی آن‌ها نوشته شده.» زهرا می‌گوید: «من بی‌نهایت توپ آبی دارم که روی هر کدام یک کسر نوشته شده.» علی فکر می‌کند چون هر دو بی‌نهایت هستند پس تعدادشان برابر است. اما زهرا توضیح می‌دهد که کسرها روی خط اعداد آن‌قدر فشرده هستند که بین هر دو کسر، بی‌نهایت کسر دیگر هم جا می‌شود! این یعنی مجموعه‌ی او چگال‌تر است.

ریاضیدانان مجموعه‌های نامتناهی را به دو دسته‌ی بزرگ تقسیم می‌کنند: «شمارا» و «ناشمارا». مجموعه شمارا مجموعه‌ای است که بتوان اعضای آن را با اعداد طبیعی یک‌به‌یک متناظر کرد. مثل اعداد زوج. هر چند اعداد زوج $ \{2,4,6,\dots\} $ نصف اعداد طبیعی به نظر می‌رسند، اما می‌توان به هر عدد زوج یک عدد طبیعی نسبت داد: $ 2 \to 1,\ 4\to 2,\ 6\to 3,\dots $ بنابراین تعداد آن‌ها با اعداد طبیعی برابر است!

مجموعه ناشمارا مانند اعداد حقیقی آن‌قدر فشرده و انبوه است که نمی‌توان بین اعضای آن و اعداد طبیعی یک تناظر یک‌به‌یک برقرار کرد. این بزرگ‌ترین جهش در درک بی‌نهایت بود.

✦ مجموعه‌ی نامتناهی مجموعه‌ای است که شمار اعضای آن از هر عدد طبیعی بزرگ‌تر است و نمی‌توان آن را با یک عدد مشخص بیان کرد.

✦ بی‌نهایت در ریاضیات یک‌گونه نیست؛ بعضی بی‌نهایت‌ها بزرگ‌تر از بقیه هستند. (نظریه‌ی کانتور)

✦ مجموعه‌های شمارا (مثل اعداد طبیعی، اعداد صحیح و گویا) با هم هم‌اندازه‌اند؛ اما مجموعه‌های ناشمارا (مثل اعداد حقیقی) به‌شدت بزرگ‌تر هستند.

✦ مفهوم «تعداد» در مجموعه‌های نامتناهی جای خود را به «اندازه (کارینالیتی)» می‌دهد.

[1] گئورگ کانتور (Georg Cantor): ریاضیدان آلمانی، بنیانگذار نظریه مجموعه‌ها و کاشف سلسله‌مراتب بی‌نهایت‌ها.

[2] کاردینالیتی (Cardinality): اندازه‌ی یک مجموعه؛ برای مجموعه‌های متناهی همان تعداد اعضا و برای مجموعه‌های نامتناهی نمایش‌دهنده‌ی «اندازه‌ی بی‌نهایت» است.

[3] الف-صفر ($\aleph_0$): نماد کوچک‌ترین اندازه‌ی بی‌نهایت که مخصوص مجموعه‌های شماراست.