نمایش مجموعهای بازه: نوشتن بازه به صورت {x∈R | شرط}
? بازه چیست؟ از زبان نوار اعداد تا نماد ریاضی
بازه در ریاضی یعنی «یک نوار پیوسته از اعداد حقیقی»[۱]. وقتی میگوییم «نمرههای قبولی از 10 تا 20»، یعنی هر عددی بین 10 و 20 را شامل میشود. برای نمایش دقیق این مجموعه در ریاضی، از سه روش استفاده میکنیم:
- روش نموداری: روی محور اعداد، بخش مورد نظر را پررنگ میکنیم.
- روش بازهای: مثلاً $[10,20]$
- روش مجموعهای (همان موضوع مقاله): $\{x\in \mathbb{R} \mid 10 \le x \le 20\}$
فرم مجموعهای دقیقترین روش است، چون شرط عضویت را با نمادهای ریاضی مشخص میکند. حتماً توجه کنید که $\mathbb{R}$ یعنی تمام اعداد حقیقی و علامت $\mid$ به معنای «به طوری که» است.
<!-- جدول 1: انواع بازه و فرم مجموعهای (ریسپانسیو) -->| نام بازه | نماد بازهای | فرم مجموعهای {x∈R | شرط} | مثال عددی |
|---|---|---|---|
| بسته | $[a,b]$ | $\{x\in\mathbb{R} \mid a \le x \le b\}$ | $2, 5.5, 9$ |
| باز | $(a,b)$ | $\{x\in\mathbb{R} \mid a < x < b\}$ | $3.1, 6.7$ |
| نیمهباز (چپبسته) | $[a,b)$ | $\{x\in\mathbb{R} \mid a \le x < b\}$ | $5$ (شامل) تا $10$ (خیر) |
| نیمهباز (راستبسته) | $(a,b]$ | $\{x\in\mathbb{R} \mid a < x \le b\}$ | $0$ (خیر) تا $100$ (شامل) |
| بینهایتدار | $(-\infty,c]$ | $\{x\in\mathbb{R} \mid x \le c\}$ | $-2, 0, 4.5$ |
? قانون طلایی: از بازه به {x∈R | شرط} برسید
برای نوشتن یک بازه به صورت مجموعهای، کافیست دو سر بازه را مشخص کنید و سپس با کمک علامتهای $\le$ (کوچکتر مساوی) و $<$ (کوچکتر) شرط را بنویسید.
اگر کران چپ $a$ در مجموعه باشد ← از $a \le x$ استفاده کن.
اگر کران چپ $a$ در مجموعه نباشد ← $a < x$ بنویس.
همین قانون برای کران راست $b$ با $x \le b$ یا $x < b$ اجرا کن.
مثال عینی: فرض کنید قیمت یک بستنی بین 15 هزارتومان تا 25 هزارتومان است، ولی خود 15 و 25 را نمیگیرد (چون بستنی ارزانتر از ۱۵ نداریم و مدل بالای ۲۵ هم سفارش نداده). بازهی قیمت: $(15,25)$. فرم مجموعهای: $\{x\in\mathbb{R} \mid 15 < x < 25\}$. اگر قیمت دقیقاً 20 باشد عضو مجموعه است.
<!-- H3 3: کاربرد عملی – از مسئله تا فرمول -->? کاربرد عملی: سن مجاز برای ثبتنام در مسابقه
فرض کنیم یک مسابقهٔ علمی، ثبتنام را برای دانشآموزان 12 سال تمام تا 18 سال (خود ۱۸ سال هم میتواند ثبتنام کند) باز کرده است. بازهی سنی: $[12,18]$. فرم مجموعهای: $\{x\in\mathbb{R} \mid 12 \le x \le 18\}$. اما اگر فردی دقیقاً 18 سال و 1 روز باشد دیگر نمیتواند ثبتنام کند. خیلی از دانشآموزان اشتباه میکنند که کرانها را به درستی با مساوی یا نامساوی مشخص نمیکنند.
در یک مثال دیگر، اگر بستهٔ اینترنتی برای حجم مصرفی 5 گیگابایت تا 20 گیگابایت تعریف شده باشد ولی حجم 5 دقیقاً رایگان باشد و حجم 20 به بعد قطع شود، بازه به صورت $[5,20)$ است و فرم مجموعهای آن: $\{x\in\mathbb{R} \mid 5 \le x < 20\}$. به این ترتیب «شرط عضویت» کاملاً شفاف میشود.
<!-- H3 4: اشتباهات رایج و پرسشهای مهم -->⚠️ اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
<!-- سوال 1 -->پاسخ چون $\infty$ عدد نیست و نمیتواند کران بسته داشته باشد. همیشه در بازهی بینهایت، سمت بینهایت باز است و در فرم مجموعهای فقط $x > 5$ یا $x < 5$ مینویسیم.
پاسخ بله، مگر اینکه در متن مشخص شده باشد با مجموعهای دیگر کار میکنیم (مثل اعداد طبیعی). نماد $\mathbb{R}$ نشان میدهد که عضوهای بازه از اعداد حقیقی انتخاب شدهاند. حذف آن باعث نادقیق شدن شرط میشود.
پاسخ در اولی: $\{x\mid 2\le x <5\}$ (عدد ۲ عضو است، ۵ نیست). در دومی: $\{x\mid 2 < x \le 5\}$ (عدد ۵ عضو است، ۲ نیست).
? پاورقیها
[۱] اعداد حقیقی (ℝ): شامل همه اعداد روی محور (اعداد صحیح، کسری، اعشاری، گنگ). معادل انگلیسی: Real numbers.
[۲] کران بسته: خود عدد مرزی عضو مجموعه است (با ≤ یا ≥). کران باز: خود عدد مرزی عضو نیست (با ).
[۳] نماد ∞: بینهایت، نشانهای برای ادامهداشتن بیپایان. هرگز به عنوان عدد به کار نمیرود.
