مجموعه اعداد گنگ: سفری به ژرفای بیکران عددها
اعداد گنگ چه شکلی هستند؟
فرض کن میخواهی ضلع یک مربع را طوری انتخاب کنی که مساحت آن دقیقاً 2 متر مربع شود. ضلع این مربع میشود √۲. اگر این عدد را با ماشینحساب بنویسی، نمایش آن به این صورت است: 1.414213562… و همینطور ادامه دارد! هیچ الگوی تکراری در ارقام آن پیدا نمیشود. این یعنی √۲ یک عدد گنگ است.
حالا یک مثال دیگر: عدد مشهور پی[2] (π) که نسبت محیط دایره به قطر آن است. این عدد هم تقریباً برابر 3.14159265… است و ارقام آن تا بینهایت بدون تکرار ادامه دارند. خب، این هم یک عدد گنگ دیگر!
چرا به آنها «گنگ» میگویند؟ چون «گویا» نیستند؛ یعنی نمیشود آنها را به صورت نسبت (کسری) از دو عدد صحیح نوشت. پس این اعداد در «مجموعهٔ اعداد گنگ» که با علامت Q′ نشان میدهیم، قرار میگیرند.
تفاوت گویا و گنگ؛ مثل شب و روز
برای درک بهتر، بیا اعداد را به دو دستهٔ بزرگ تقسیم کنیم: گویا و گنگ. هر عدد گویا را میتوان به شکل کسر a/b نوشت که a و b عدد صحیح و b≠0 هستند. اما اعداد گنگ چنین اجازهای به ما نمیدهند.
| ویژگی | اعداد گویا (Q) | اعداد گنگ (Q′) |
|---|---|---|
| نوشتن به صورت کسر | ✓ ممکن | ✗ غیرممکن |
| نمایش اعشاری | متناهی یا متناوب (تکراری) | غیرمتناهی و غیرمتناوب |
| مثال | 0.75, 2, -3, 0.333… | √2, π, e, √5 |
شاید برایت سؤال شده باشد که آیا همهٔ ریشهها گنگ هستند؟ نه! مثلاً √۴ = ۲ یک عدد گویاست. پس اعدادی مانند √۹، √۱۶ و ... گویا هستند. اما √۲، √۳، √۵، √۷ و √۸ (چون ساده شدهٔ آن ۲√۲ است) همگی گنگ هستند.
جایگاه مجموعه اعداد گنگ در مجموعۀ اعداد
تا الان میدانیم که اعداد به دو گروه بزرگ حقیقی[3] و موهومی[4] تقسیم میشوند. اعداد گنگ زیرمجموعهای از اعداد حقیقی هستند. یعنی هر عدد گنگ روی محور اعداد یک جای مشخص دارد، اما نمیشود آن را با یک کسر ساده نشان داد. به همین دلیل برای نوشتن دقیق آن از نمادهایی مثل √ یا حروف یونانی استفاده میکنیم.
عدد گنگ در زندگی روزمره؛ از هندسه تا مهندسی
تصور کن میخواهی یک زمین فوتبال با اندازههای استاندارد طراحی کنی. طول زمین 105 متر و عرض آن 68 متر است. قطر زمین چقدر میشود؟ کافی است از رابطهٔ فیثاغورس استفاده کنیم:
$قطر = \sqrt{105^2 + 68^2} = \sqrt{11025 + 4624} = \sqrt{15649}$حالا $\sqrt{15649}$ را حساب کن! این عدد تقریباً 125.1 است، اما دقیقاً 125.1 نیست؛ یک اعشار طولانی و بیتکرار دارد. در واقع این عدد گنگ است. اما در دنیای واقعی وقتی مهندسان نقشه میکشند، آن را گرد میکنند. این یعنی اعداد گنگ در قلب محاسبات علمی و مهندسی حضور دارند، حتی اگر در نهایت از تقریب آنها استفاده کنیم.
مثال دیگر: عدد طلایی[5] (φ) که در هنر، معماری و حتی طبیعت (مارپیچ صدف، گلبرگها) دیده میشود، یک عدد گنگ است. مقدار دقیق آن $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ است که تقریباً 1.6180339887… میشود و هرگز پایان نمییابد.
اشتباهات رایج
اعداد گنگ خاص و معروف
در ریاضیات دبیرستان با چند عدد گنگ بسیار مهم آشنا میشوید که هر کدام داستان جذابی دارند:
| نام عدد | نماد | مقدار تقریبی | کاربرد |
|---|---|---|---|
| پی | π | 3.14159265… | محیط و مساحت دایره، موجها |
| عدد نپر | e | 2.71828182… | رشد جمعیت، بهرهٔ مرکب |
| ریشهٔ دوم ۲ | √۲ | 1.41421356… | هندسه، اندازهگیری قطر |
| عدد طلایی | φ | 1.61803398… | هنر، معماری، طبیعت |
? پاورقیها
[1]گویا: Rational number – عددی که بتوان آن را به صورت نسبت دو عدد صحیح نوشت.
[2]پی: Pi – نسبت محیط دایره به قطر آن، یکی از مشهورترین ثابتهای ریاضی.
[3]اعداد حقیقی: Real numbers – مجموعهٔ تمام اعداد گویا و گنگ که روی محور اعداد جای میگیرند.
[4]اعداد موهومی: Imaginary numbers – اعدادی که مجذور آنها منفی میشود (مانند √-۱).
[5]عدد طلایی: Golden ratio – عددی که در هنر و طبیعت به عنوان زیباترین نسبت شناخته میشود.
