چون دو مثلث ABC و DEF باهم متشابه‌اند نسبت اضلاع برابر دارند.

حالا باید حالت‌های مختلف را بررسی کنیم تا حالت مناسب با تمام فرض‌های سوال را بیابیم.

حالت اول:

$\frac{6}{{12}} = \frac{{y + 2}}{8} = \frac{{12}}{{3x + 1}} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{{y + 2}}{8} \Rightarrow 8 = 2y + 4 \Rightarrow y = 2$

چون باید $4 \lt y \lt 10$ باشد بنابراین قابل قبول نیست.

حالت دوم:

$\frac{6}{8} = \frac{{12}}{{3x + 1}} = \frac{{y + 2}}{{12}} \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{{12}}{{3x + 1}} \to $ طرفین وسطین $9x + 3 = 48 \Rightarrow x = 5$

$\frac{3}{4} = \frac{{y + 2}}{{12}} \Rightarrow 4y + 8 = 36 \Rightarrow y = 7 \Rightarrow x + y = 5 + 7 = 12$

حالت سوم: 

$\frac{6}{{3x + 1}} = \frac{{12}}{8} = \frac{{y + 2}}{{12}} \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{{y + 2}}{{12}} \Rightarrow y + 2 = 18 \Rightarrow y = 16$

چون باید $4 \lt y \lt 10$ باشد بنابراین قابل قبول نیست.

حالت چهارم:

$\frac{6}{{3x + 1}} = \frac{{12}}{{12}} = \frac{{y + 2}}{8} \Rightarrow 3x + 1 = 6 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$

چون باید $x \in \mathbb{N}$ باشد، بنابراین قابل قبول نیست.