1- ضرب و تقسیم‌های زیر را انجام دهید. (در همهٔ تمرین‌ها مخرج کسرها مخالف صفر فرض شده است)

$=\frac{(a-4)(a+4)}{(a+4)}\times \frac{a+2}{(a-4)(a-4)}=\frac{a+2}{a-4}$$\frac{{{a}^{2}}-16}{a+4}\times \frac{a+2}{{{a}^{2}}-8a+16}$ (الف

$=\frac{(m-7)(m+7)}{m+1}\times \frac{(m-1)(m+1)}{-(m-7)}=-(m+7)(m-1)$ $\frac{{{m}^{2}}-49}{m+1}\div \frac{7-m}{{{m}^{2}}-1}$ (ب

$=\frac{(x-2)(x-2)}{4xy(x-2)}\times \frac{6x(x+3)}{(x+3)(x-2)}=\frac{3}{2y}$$\frac{{{x}^{2}}-4x+4}{4{{x}^{2}}y-8xy}\div \frac{{{x}^{2}}+x-6}{6{{x}^{2}}+18}$ (ج

$=\frac{(1-c)(1+c)}{{{b}^{3}}}\times \frac{{{b}^{2}}}{(c-1)(c-1)}=\frac{(1-c)(1+c)}{{{b}^{3}}}\times \frac{{{b}^{2}}}{(1-c)(1-c)}=\frac{(1+c)}{b(1-c)}$ $\frac{1-{{c}^{2}}}{{{b}^{3}}}\times \frac{{{b}^{2}}}{1-2c+{{c}^{2}}}$ (د

2- جمع و تفریق‌های زیر را انجام دهید.

$\frac{x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-\frac{y{{(x-y)}^{2}}}{{{x}^{4}}-{{y}^{4}}}$ (الف
$\begin{align}& =\frac{x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-\frac{y{{(x-y)}^{2}}}{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})({{x}^{2}}-{{y}^{2}})}=\frac{x({{x}^{2}}-{{y}^{2}})-y({{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}})}{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})({{x}^{2}}-{{y}^{2}})} \\ & =\frac{{{x}^{3}}-x{{y}^{2}}-y{{x}^{2}}+2x{{y}^{2}}-{{y}^{3}}}{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})({{x}^{2}}-{{y}^{2}})}=\frac{{{x}^{3}}-y{{x}^{2}}+x{{y}^{2}}-{{y}^{3}}}{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}=\frac{{{x}^{2}}(x-y)+{{y}^{2}}(x-y)}{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})({{x}^{2}}-{{y}^{2}})} \\ & =\frac{(x-y)({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})({{x}^{2}}-{{y}^{2}})}=\frac{(x-y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{1}{x+y} \\ \end{align}$

$\frac{x+7}{ax-bx}+\frac{y+9}{by-by}$ (ب
$\begin{align}& =\frac{x+7}{x(a-b)}+\frac{y+9}{-y(a-b)}=\frac{y(x+7)-x(y+9)}{xy(a-b)} \\ & =\frac{yx+7y-yx-9x}{xy(a-b)}=\frac{-2x}{xy(a-b)}=\frac{-2}{y(a-b)} \\ \end{align}$

$\frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{a-b}-\frac{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}$ (ج
$\begin{align}& =\frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{a-b}-\frac{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{(a-b)(a+b)}=\frac{(a+b)({{a}^{2}}-{{b}^{2}})-({{a}^{3}}-{{b}^{3}})}{(a-b)(a+b)} \\ & =\frac{{{a}^{3}}-a{{b}^{2}}+b{{a}^{2}}-{{b}^{3}}-{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}{(a-b)(a+b)}=\frac{-ab(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{-ab}{a+b} \\ \end{align}$

$=\frac{4+{{x}^{2}}-2x+(2+x)(-2-x)}{2+x}=\frac{4+{{x}^{2}}-2x-4-2x-2x-{{x}^{2}}}{2+x}=\frac{-6x}{2+x}$$\frac{4+{{x}^{2}}-2x}{2+x}-2-x$ (د

3- فقط یکی از عبارت‌های گویای زیر قابل ساده شدن است؛ آن را مشخص و ساده کنید.

$\frac{{{a}^{2}}-5a}{a}$ و $\frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}$ و $\frac{{{a}^{2}}-3}{3}$ و $\frac{{{a}^{2}}+5}{{{a}^{2}}}$
$\frac{a(a-5)}{a}=a-5$

4- از میان عبارت‌های زیر، هر کدام را که مساوی عبارت $\frac{x}{y}$ است، معلوم کنید.

$\frac{x+3}{y+3}$ (الف

$\frac{3-x}{3-y}$ (ب

(×) $\frac{3x}{3y}$ (ج

$\frac{{{x}^{3}}}{{{y}^{3}}}$ (د

(×)  $\frac{a{}^{3}x}{{{a}^{3}}y}$ (هـ

5- عبارت $\frac{-x+3}{x+5}$ با کدام یک از عبارت‌های زیر برابر است؟

$-\frac{x+3}{x+5}$ (الف

$-\frac{x-3}{x+5}$ (ب

$\frac{x-3}{x+5}$ (ج

$-\frac{3-x}{x+5}$ (د

ب) $\frac{x-3}{x+5}=-\frac{(x-3)}{x+5}=\frac{-x+3}{x+5}$

6- کدام یک از عبارت‌های زیر به درستی ساده شده است؟

$\frac{a+5}{{{a}^{2}}-25}=\frac{a+5}{(a+5)(a-5)}=a-5$ (الف

$\frac{a+5}{{{a}^{2}}-25}=\frac{a+5}{(a+5)(a-5)}=\frac{1}{a-5}$ (ب

عبارت (ب) به درستی ساده شده است.

7- اگر $A={{a}^{2}}-{{b}^{2}}$ و $B={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ و $C=2ab$، حاصل عبارت $\frac{{{A}^{2}}-{{B}^{2}}}{{{C}^{2}}}$ را به دست آورید.

$=\frac{(A-B)(A+B)}{{{C}^{2}}}=\frac{[({{a}^{2}}-{{b}^{2}})\overbrace{-({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}^{-{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}][({{a}^{2}}-{{b}^{2}})+({{a}^{2}}+{{b}^{2}})]}{4{{a}^{2}}{{b}^{2}}}=\frac{[-2{{b}^{2}}][2{{a}^{2}}]}{4{{a}^{2}}{{b}^{2}}}=\frac{-4{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{4{{a}^{2}}{{b}^{2}}}=-1$ $\frac{{{A}^{2}}-{{B}^{2}}}{{{C}^{2}}}$

8- کدام یک از تساوی‌های زیر، درست و کدام یک نادرست است؟ موارد نادرست را اصلاح کنید. (همهٔ عبارت‌های جبری تعریف شده فرض می‌شود.)

نادرست $\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\frac{a-b}{ab}$ (الف

نادرست $\frac{{{x}^{13}}}{{{x}^{20}}}={{x}^{7}}$ (ب

درست $\frac{a}{5}-\frac{7-b}{5}=\frac{a-7-b}{5}$ (ج

نادرست $\frac{a-b}{b-a}=1$ (د

نادرست $\frac{1}{a-b}=\frac{-1}{a+b}$ (هـ

درست $\frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{a-b}=a+b$ (و

نادرست $\frac{ca+cb}{c+cd}=\frac{a+b}{d}$ (ز

درست $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{a}{c}}=\frac{c}{b}$ (ح

9- طول مستطیلی از دو برابر عرض آن یک واحد کمتر است. نسبت محیط به مساحت این مستطیل را به صورت یک کسر گویا (عبارت گویا) بنویسید.

 x = عرض

 $2x-1$ =طول

$=2(x+2x-1)=6x-2$ محیط

$=x(2x-1)=2{{x}^{2}}-x$ مساحت

(طول + عرض) $=2\times$ محیط

طول × عرض = مساحت

$\frac{6x-2}{2{{x}^{2}}-x}$

10- حاصل عبارت‌های زیر را به دست آورید و نتیجه را ساده کنید.

$=\frac{\frac{a(1-a)}{(a-1)(a+1)}}{\frac{a-a(a+1)}{a+1}}=\frac{\frac{-a}{a+1}}{\frac{a-{{a}^{2}}-a}{a+1}}=\frac{-a}{-{{a}^{2}}}=\frac{1}{a}$$\frac{\frac{a-{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}-1}}{\frac{a}{a+1}-a}$ (الف

$\begin{align}& =\frac{\frac{x+y-2(x-y)}{(x-y)(x+y)}}{\frac{{{x}^{2}}-9{{y}^{2}}}{{{(x-y)}^{2}}}}=\frac{\frac{x+y-2x+2y}{(x-y)(x+y)}}{\frac{(x-3y)(x+3y)}{{{(x-y)}^{2}}}}=\frac{-x+3y}{(x-y)(x+y)}\div \frac{(x-3y)(x+3y)}{{{(x-y)}^{2}}} \\ & =\frac{-x+3y}{(x-y)(x+y)}\times \frac{{{(x-y)}^{2}}}{(x-3y)(x+3y)}=\frac{-(x-y)}{(x+y)(x+3y)} \\ \end{align}$$\frac{\frac{1}{x-y}-\frac{2}{x+y}}{\frac{{{x}^{2}}-9{{y}^{2}}}{{{(x-y)}^{2}}}}$ (ب

11- دو عبارت گویا بنویسید که:

الف) حاصل ضرب آنها $\frac{a-2}{a+7}$ شود.

$(a-2)\times \frac{1}{a+7}=\frac{a-2}{a+7}$

ب) حاصل جمع آنها $\frac{a-2}{a+7}$ شود.

$\frac{a}{a+7}+\frac{-2}{a+7}=\frac{a+(-2)}{a+7}=\frac{a-2}{a+7}$

12- عرض مستطیل مقابل را برحسب x به دست آوريد.
مساحت مستطیل ${{x}^{2}}-9$ است.

$=A$ عرض و $=x-4$ طول

$A\times (x-4)={{x}^{2}}-9\Rightarrow A=\frac{{{x}^{2}}-9}{x-4}$