درسنامه آموزشی فصل ششم ریاضی کلاس نهم درس 1: معادله خط

وقتی دوچرخه سواری در حال حرکت است، بین زمان و مسافتی که او طی می‌کند، رابطه‌ای وجود دارد. بین زمان سوختن شمع و کوتاه شدن آن نیز رابطه‌ای دیده می‌شود.

در الگوی عددی زیر نیز بین هر جمله و شماره آن رابطه‌ای هست که به صورت $n\to 2n$ نمایش داده شده است:

دوچرخه سواری با سرعت ثابت دو متر در ثانیه در حال حرکت است؛ یعنی در هر ثانیه دو متر را طی می‌کند. جدول زیر را کامل کنید.

5	4	3/5	2	1/5	1	0	زمان (ثانیه) x
10	8	7	4	3	2	0	مسافت (متر) y

بین زمان و مسافت طی شده چه رابطه‌ای هست؟ مسافت طی شده 2 برابر زمان است.

پس از 100 ثانیه چه مسافتی طی شده است؟ 200 متر

اگر x ثانیه بگذرد، چه مسافتی طی شده است؟ 2x متر

زوج عددهایی را که در جدول به دست آوردید و به صورت $\left[ \begin{matrix}x \\y \\\end{matrix} \right]$ نشان دهید و نمایش هر نقطه را روی نمودار مشخص کنید؛ این نقطه‌ها چه ویژگی مشترکی دارند؟
در همۀ نقاط y، دو برابر x است. یعنی؛ $y=2x$

$\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 1/5 \\ 3 \\ \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 3/5 \\ 7 \\ \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 4 \\ 8 \\ \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 5 \\ 10 \\ \end{matrix} \right]$

اگر این نقطه‌ها را به هم وصل کنیم، چه شکلی به دست می‌آید؟ یک خط راست به دست می‌آید.

1- اگر طول ضلع یک مربع را با x و محیط آن را با y شان دهیم، چه رابطه‌ای بین x و y هست؟

ضلع (x)

$\begin{matrix} \to \\ \to \\ \end{matrix}\begin{matrix} {} & {} \\ \end{matrix}\left[ \begin{matrix} 1 \\ 4 \\ \end{matrix} \right]\begin{matrix} {} & {} \\ \end{matrix}\left[ \begin{matrix} 2 \\ 8 \\ \end{matrix} \right]\begin{matrix} {} & {} \\ \end{matrix}\left[ \begin{matrix} 3 \\ 12 \\ \end{matrix} \right]\begin{matrix} {} & {} \\ \end{matrix}\left[ \begin{matrix} 4 \\ 16 \\ \end{matrix} \right]\begin{matrix} {} & {} \\ \end{matrix}\left[ \begin{matrix} 100 \\ 400 \\ \end{matrix} \right]\begin{matrix} {} & {} \\ \end{matrix}\left[ \begin{matrix} x \\ 4x \\ \end{matrix} \right]\begin{matrix} {} & {} \\ \end{matrix}y=4x$

محیط (y)

2- اگر طول ضلع یک مربع را با x و مساحت مربع را با y نشان دهیم، بین x و y چه رابطه‌ای هست؟ پس از کامل کردن جدول زیر، هر نقطه را روی نمودار پیدا کنید.

3	2/5	2	1/5	1	0/5	0	ضلع x (سانتیمتر)
9	6/25	4	2/25	1	0/25	0	مساحت y (سانتیمر مربع)
$\left[ \begin{matrix} 3 \\ 9 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} 2/5 \\ 6/25 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} 1/5 \\ 2/25 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} 0/5 \\ 0/25 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]$	نقطه‌ها

آیا این نقطه‌ها هم روی یک خط راست قرار گرفتند؟ خیر، نقطه‌ها روی یک خط راست نیستند. روی یک منحنی قرار دارند.

1- معادلهٔ $x+y=10$ چند پاسخ دارد؟ پنج پاسخ آن را به صورت زیر بنویسید:

$\left\{ \begin{matrix} x=1 \\ y=9 \\ \end{matrix} \right.\begin{matrix} {} & {} & {} \\ \end{matrix}\left\{ \begin{matrix} x=2 \\ y=8 \\ \end{matrix} \right.\begin{matrix} {} & {} & {} \\ \end{matrix}\left\{ \begin{matrix} x=7 \\ y=3 \\ \end{matrix} \right.\begin{matrix} {} & {} & {} \\ \end{matrix}\left\{ \begin{matrix} x=6 \\ y=4 \\ \end{matrix} \right.\begin{matrix} {} & {} & {} \\ \end{matrix}\left\{ \begin{matrix} x=10 \\ y=0 \\ \end{matrix} \right.$

توضیح دهید چگونه پاسخ‌های مختلف این معادله را می‌توان پیدا کرد؟ با جایگزین کردن یک عدد حقیقی دلخواه به جای x می‌توان y را محاسبه کرد.

آیا تساوی برای $x=2$ و $y=5$ برقرار است؟ خیر، به ازای $x=2$ مقدار $y=8$ به دست می‌آید.

توضیح دهید چرا این تساوی معادله است و اتحاد نیست؟ اتحاد به ازای همۀ مقادیر متغیرها برقرار است. این تساوی فقط به ازای مقادیر خاصی از متغیرهای x و y برقرار است و بنابراین معادله است نه اتحاد.

2- در شکل زیر نمودار یک خط داده شده است. جدول زیر را با توجه به نمودار خط کامل کنید.

2-	2	1-	1	0	x (طول نقطه)
0	4	1	3	2	y (عرض نقطه)
$\left[ \begin{matrix} -2 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} 0 \\ 2 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right]$

بین طول و عرض نقطه‌ها چه رابطه‌ای هست؟ این رابطه را به صورت یک معادله بنویسید.
عرض نقطه‌ها دو واحد از طول نقطه‌ها بیشتر است. یعنی؛ $y=x+2$

3- پنج جواب برای هر یک از معادله‌های زیر بنویسید.

$3x-4y=12$
$\left\{ \begin{matrix} x=0 \\ y=-3 \\ \end{matrix} \right.\quad \left\{ \begin{matrix} x=4 \\ y=0 \\ \end{matrix} \right.\quad \left\{ \begin{matrix} x=1 \\ y=\frac{-9}{4} \\ \end{matrix} \right.\quad \left\{ \begin{matrix} x=-1 \\ y=\frac{-15}{4} \\ \end{matrix} \right.\quad \left\{ \begin{matrix} x=5 \\ y=\frac{3}{4} \\ \end{matrix} \right.$

$y=2x-1$

$\left\{ \begin{matrix} x=0 \\ y=-1 \\ \end{matrix} \right.\quad \left\{ \begin{matrix} x=1 \\ y=1 \\ \end{matrix} \right.\quad \left\{ \begin{matrix} x=-1 \\ y=-3 \\ \end{matrix} \right.\quad \left\{ \begin{matrix} x=\frac{1}{2} \\ y=0 \\ \end{matrix} \right.\quad \left\{ \begin{matrix} x=2 \\ y=3 \\ \end{matrix} \right.$

توضیح دهید که پیداکردن جواب در معادلهٔ سمت راست ساده‌تر و سریع‌تر است یا در معادله سمت چپ؟
در معادلۀ سمت راست راحت تر است، چون متغیر y در یک طرف معادله قرار دارد و با انتخاب مقدار x، مقدار y به راحتی به دست می‌آید. در معادله سمت چپ، پس از انتخاب مقدار دلخواهی برای x یا y باید کمی محاسبات جبری انجام داد تا مقدار مجهول را پیدا کرد.

هر معادله به صورت کلی $y=ax+b$ معادلهٔ یک خط است؛ زیرا در صورتی که تمام پاسخ‌های آن معادله را به صورت نقطه روی دستگاه مختصات نمایش دهیم، شکل یک خط به دست می‌آید؛ به همین دلیل می‌گوییم x و y با هم رابطهٔ خطی دارند. معادلهٔ بالا بی شمار جواب دارد؛ ولی اتحاد نیست.

به عنوان مثال $y=x+2$ معادلهٔ یک خط است که در آن $a=1$ و $b=2$ فرض شده است و نمودار آن را در بالا ملاحظه کردید.

1- نمودار خط‌های با معادلهٔ زیر را رسم کنید.

$y=-x+3$

4	3	2	1	0	1-	x
1-	0	1	2	3	4	y
$\left[ \begin{matrix} 4 \\ -1 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} 3 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} 0 \\ 3 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} -1 \\ 4 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right]$

$y=\frac{3}{2}x$

4	2	0	2-	x
6	3	0	3-	y
$\left[ \begin{matrix} 4 \\ 6 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} -2 \\ -3 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right]$

2- آیا خط $y=3x$ از مبدأ مختصات (یعنی نقطه $\left[ \begin{matrix}0 \\0 \\\end{matrix} \right]$ ) می‌گذرد؟ چرا؟ بله، چون به ازای $x=0$ مقدار $y=0$ می‌شود.

3- اگر در معادله $y=ax$ به جای a عددهای مختلفی قرار دهیم، بی شمار معادلهٔ خطی مانند $y=3$ ، $y=-x$ ، $y=2x$ و ... به دست می‌آید. آیا می‌توان گفت تمام این خط‌ها از مبدأ مختصات می‌گذرند؟
بله، چون به ازای $x=0$ مقدار y وابسته به ضریب a نیست و در هر صورت $y=0$ می‌شود. بنابراین خط‌های با معادله $y=ax$ همواره ار مبدأ مختصات می‌گذرند.

$y=ax$ صورت کلی معادلهٔ خط‌هایی است که از مبدأ مختصات می‌گذرند.

1- در هر مورد دو نقطه از یک خط داده شده است؛ ابتدا خط را رسم کنید و سپس مانند نمونه با توجه به مختصات هر نقطه معادلهٔ خط را حدس بزنید.

$\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right]$
$y=2x$

$\left[ \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} -1 \\ -2 \\ \end{matrix} \right]$

$\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ \end{matrix} \right]$ (الف
$y=-x$

$\left[ \begin{matrix} 2 \\ -2 \\ \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} -2 \\ 2 \\ \end{matrix} \right]$

$\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]$ (ب
$y=\frac{1}{3}x$

$\left[ \begin{matrix} 2 \\ \frac{2}{3} \\ \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} -3 \\ -1 \\ \end{matrix} \right]$

2- در فعالیت 1 برای هر مورد، مختصات دو نقطهٔ دیگر را روی هر خط به دست آورید. زیر هر نمودار در فعالیت 1 نوشته شده است.

3- در قسمت (ب) کدام یک از نقطه‌ها با مختصات $\left[ \begin{matrix}6 \\2 \\\end{matrix} \right]$ و $\left[ \begin{matrix}6 \\3 \\\end{matrix} \right]$ و $\left[ \begin{matrix}60 \\20 \\\end{matrix} \right]$ روی خط قرار دارد؟
نقاطی که عرض آنها $\frac{1}{3}$ طول آنها باشد، روی این خط قرار دارند. پس نقاط $\left[ \begin{matrix}6 \\2 \\\end{matrix} \right]$ و $\left[ \begin{matrix}60 \\20 \\\end{matrix} \right]$ روی این خط قرار دارند.

1- مختصات نقطه‌ای به طول 2 را روی خط $y=2x-1$ پیدا کنید.

$\begin{align} & y=2{{x}_{\searrow }}-1 \\ & y=2\times 2-1 \\ \end{align}$
$y=4-1=3$

$\left[ \begin{matrix}2 \\3 \\\end{matrix} \right]$

با استفاده از معادلهٔ خط

2- مختصات نقطه‌ای به عرض 3- را روی خط $y=\frac{1}{2}x+2$ پیدا کنید.

$y=-3\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}-3=\frac{1}{2}x+2\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\frac{1}{2}x=-5\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow x=-10\begin{matrix} {} & {} & {} \\ \end{matrix}\left[ \begin{matrix} -10 \\ -3 \\ \end{matrix} \right]$

3- مختصات محل برخورد خط $y=5x+1$ را با محورهای مختصات پیدا کنید.
در محل برخورد خط با محور طول، $y=0$ و در محل برخورد با محور عرض، $x=0$ است. بنابراین؛

$y=0\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}0=5x+1\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}5x=-1\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow x=\frac{-1}{5}\begin{matrix} {} & {} & {} \\ \end{matrix}\left[ \begin{matrix} \frac{-1}{5} \\ 0 \\ \end{matrix} \right]$

$x=0\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}y=5\times 0+1\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}y=1\begin{matrix} {} & {} & {} \\ \end{matrix}\left[ \frac{0}{1} \right]$

چون این دو نقطه روی خط قرار دارند، با استفاده از این دو نقطه می‌توان خط را رسم کرد.

1- خط به معادلهٔ $y=\frac{1}{2}x+4$ را رسم کنید.

4	2-	2	0	x (طول نقطه)
6	3	5	4	y (عرض نقطه)
$\left[ \begin{matrix} 4 \\ 6 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} -2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} 2 \\ 5 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} 0 \\ 4 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right]$

الف) آیا نقطهٔ $\left[ \begin{matrix}2 \\-1 \\\end{matrix} \right]$ روی این خط است. خیر، به ازای طول 2، عرض برابر 5 است.

ب) مختصات نقطه‌های برخورد خط را با محورهای مختصات پیدا کنید.

$\begin{align} & y=0\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}0=\frac{1}{2}x+4\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\frac{1}{2}x=-4\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow x=-8 \\ & x=0\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}y=\frac{1}{2}\times 0+4\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}y=4 \\ \end{align}$

ج) نقطه‌ای از این خط، به طول 1- را پیدا کنید.

$x=-1\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}y=\frac{1}{2}\times (-1)+4\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}y=\frac{7}{2}$

2- طول یک فنر 10 سانتی متر است. وقتی وزنه‌ای به جرم x به آن وصل شود، طول فنر از رابطهٔ $y=0/8x+10$ پیدا می‌شود. اگر وزنه‌ای به جرم 5 کیلوگرم به آن وصل شود، طول فنر چقدر می‌شود؟

$y=0/8x+10\xrightarrow{x=5}y=0/8\times 5+10=14$

3- کدام یک از نمودارهای زیر رابطهٔ رشد قد انسان را از هنگام تولد تا بزرگسالی نشان می‌دهد؟ با توجه به وضعیت‌های مختلف، نمودار آن را توصیف کنید؛ برای مثال بگویید محل برخورد نمودار با محور y به چه معناست؟
هنگام تولد انسان را زمان صفر در نظر بگیرید. چون در زمان تولد قد نوزاد مقدار مثبتی است، پس در زمان صفر، قد برابر مقدار مثبتی است. تنها نمودارهای (ب) و (ج) چنین خاصیتی دارند. از طرفی پس از سن جوانی، قد رشد ندارد و مقدار ثابتی می‌شود که نمودار (ب) این خاصیت را نیز دارد. پس جواب درست گزینۀ (ب) است.

4- دو نقطه از یک خط داده شده است؛ معادلهٔ خط را حدس بزنید.

$\left[ \begin{matrix}0 \\0 \\\end{matrix} \right]$ و $\left[ \begin{matrix}1 \\3 \\\end{matrix} \right]$ (الف

$\left[ \begin{matrix}2 \\3 \\\end{matrix} \right]$ و $\left[ \begin{matrix}1 \\1 \\\end{matrix} \right]$ (ب

$\left[ \begin{matrix}1 \\4 \\\end{matrix} \right]$ و $\left[ \begin{matrix}0 \\1 \\\end{matrix} \right]$ (ج

5- مختصات محل برخورد خط به معادلهٔ $y=-x+2$ را با محورهای مختصات بیابید.

$\left. \begin{align} & y=0\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}0=-x+2\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}x=2 \\ & x=0\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}y=-1\times 0+2\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}y=2 \\ \end{align} \right\}\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 0 \\ 2 \\ \end{matrix} \right]$

6- مختصات نقطه‌ای از خط به معادلهٔ $y=-\frac{3}{5}x+4$ را بیابید که طول آن نقطهٔ 5 باشد.

$\left. x=5\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}y=\frac{-3}{5}\times 5+4\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}y=1 \right\}\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 5 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]$

7- خط $y=-\frac{1}{2}x+2$ را رسم کنید.

4	2-	2	0	x (طول نقطه)
0	3	1	2	y (عرض نقطه)
$\left[ \begin{matrix} 4 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} -2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} 0 \\ 2 \\ \end{matrix} \right]$	$\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right]$

آیا نقطهٔ $\left[ \begin{matrix}-2 \\3 \\\end{matrix} \right]$ روی این خط قرار دارد؟ بله، به ازای طول 2-، فرض برابر 3 است.

نقطه‌ای به طول 1- روی این خط پیدا کنید.

$x=-1\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}y=\frac{-1}{2}\times (-1)+2\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}y=\frac{5}{2}\Rightarrow \left[ \begin{matrix} -1 \\ \frac{5}{2} \\ \end{matrix} \right]$

نقطه‌ای به عرض 2- روی این خط پیدا کنید.

$y=-2\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}-2=-\frac{1}{2}x+2\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}x=8\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 8 \\ -2 \\ \end{matrix} \right]$

محل برخورد خط را با محورهای مختصات پیدا کنید.

$x=0\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}y=\frac{-1}{2}\times (0)+2\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}y=2\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 0 \\ 2 \\ \end{matrix} \right]$

$y=0\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}0=-\frac{1}{2}x+2\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}x=4\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 4 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]$