نکته:

$\left\{ \begin{matrix}
   \begin{align}
  & \overrightarrow{i}\times \overrightarrow{k}=\overrightarrow{i} \\ 
 & \overrightarrow{i}\times \overrightarrow{k}=-\overrightarrow{j} \\ 
\end{align}  \\
   \overrightarrow{j}\times \overrightarrow{i}=\overrightarrow{k}  \\
\end{matrix} \right.$

با توجه به نکته داریم:

$\begin{align}
  & \overrightarrow{i}.(2\overrightarrow{j}\times 3\overrightarrow{k})-\overrightarrow{j}.(4\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{k})+\overrightarrow{k}.(3\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{i})=6\overrightarrow{i}.(\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{k})-4\overrightarrow{j}.(\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{k})+3\overrightarrow{k}.(\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{i}) \\ 
 & =6\overrightarrow{i}.\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}.\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k}.\overrightarrow{k}=6{{\left| \overrightarrow{i} \right|}^{2}}+4{{\left| \overrightarrow{j} \right|}^{2}}-3{{\left| \overrightarrow{k} \right|}^{2}}=6+4-3=7 \\ 
\end{align}$