می‌دانیم که:

$1)\left\{ \begin{matrix} a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,c  \\ a\overset{n}{\mathop{\equiv }}\,c  \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow a\overset{\left[ m,n \right]}{\mathop{\equiv }}\,c$

$2)\left\{ \begin{matrix} a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,b  \\ d\left| m \right.  \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow a\overset{d}{\mathop{\equiv }}\,b$

چون $a$ فرد است، $a+1398$ نیز عددی فرد است، پس مقسوم‌علیه‌های آن فرد می‌باشد. طبق فرض مسأله $b\left| a \right.+1398$ و $b$ مقسوم‌علیه $a+1398$ است، بنابراین $b$ نیز فرد می‌باشد. از طرفی چون $a$ و $b$ فرد می‌باشند، مربع آن‌ها به صورت $8q+1$ است، لذا:

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+5=(8q+1)+(8{q}'+1)+5=8q+8{q}'+7=8(q+{q}')+7=8{q}''+7$

پس باقی‌مانده‌ی تقسیم عبارت ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+5$ بر 8 برابر 7 است.