قرار دادن تعدادی شیء در دسته‌های مساوی یا دسته‌بندی کردن تعدادی از چیزها را، بدون آنکه باقی‌مانده‌ای داشته باشیم، «عاد کردن» یا شمارش آن اشیا، توسط شمارنده‌ها می‌گویند. مثلاً، 12 شیء را می‌توان با شمارنده‌های مثبتِ عدد 12 یعنی 1، 2، 3، 4، 6 و 12 دسته‌بندی یا شمارش کرد.

در این فصل برای نمایش این مفهوم از نماد « $|$ » استفاده کرده و مثلاً می‌نویسیم $2|12$ و می‌خوانیم عدد 2 عدد 12 را می‌شمارد یا عاد می‌کند. بیان دیگر این مفهوم آن است که بگوییم عدد 12 بر عدد 2 بخش‌پذیر است (باقی‌ماندهٔ تقسیم صفر است).

توجه داشته باشید که دسته‌بندی کردن اشیا در دسته‌های صفرتایی یا شمارش تعدادی شیء خاص به‌صورت صفر تا صفر تا کار بی‌معنایی است؛ لذا صفر هیچ عدد غیر صفری را نمی‌شمارد و هیچ عدد غیر صفری بر صفر بخش‌پذیر نمی‌باشد در ضمن توجه داشته باشید که هر عدد بر خودش و بر 1 بخش‌پذیر است؛ یعنی اگر a عددی طبیعی باشد $1|a$ و $a|a$ . (عدد 1 هر عدد صحیح را عاد می‌کند و هر عدد بر خودش بخش‌پذیر است).

حال با توجه به اینکه مفهوم بخش‌پذیری b بر a معادل است با اینکه بنویسیم $a|b$ (عدد a، عدد b را می‌شمارد یا عدد a، عدد b را عاد می‌کند) مفهوم بخش‌پذیری را می‌توان برای هر دو عدد صحیح به‌کار برد، مثلاً می‌توان گفت، عدد 28- بر 4 بخش‌پذیر است (زیرا، $-28=4\times \left( -7 \right)$ یا باقی‌مانده تقسیم 28- بر عدد 4 صفر است) پس در حالت کلّی و با تعمیم مفهوم عاد کردن به مجموعهٔ اعداد صحیح عاد کردن به‌صورت زیر تعریف می‌شود.

عدد صحیح a، که مخالف صفر است، شمارندهٔ عدد b است - یا a، b را می‌شمارد یا $a|b$ یا b بر a بخش‌پذیر است - هرگاه عددی صحیح چون q وجود داشته باشد به‌طوری‌که $b=aq$ .

اگر عدد b بر عدد a بخش‌پذیر نباشد یا عدد a عدد b را عاد نکند می‌نویسیم، $a\cancel{|}b$

1- با توجه به تعریف رابطهٔ عاد کردن جاهای خالی را پر کنید.

$7/63\Leftrightarrow 63=.......\times .......$ (الف
$91=7\times .......\Leftrightarrow ......|91$ (ب
$-6|54\Leftrightarrow .......=.......\times \left( -6 \right)$ (پ
$5|-35\Leftrightarrow ......=5\times ......$ (ت
$0=18\times .......\Leftrightarrow 18|.......$ (ث
$a|1\Rightarrow a=.......\,\,*\,\,a=.......$ (ج
$26=2\times 13\Rightarrow 2|.......\,,\,.......|26$ (چ

2- با استفاده از تعریف عاد کردن و قوانین ضرب و تقسیمِ اعداد توان‌دار با پایه‌های برابر، ابتدا نشان دهید که ${{3}^{5}}|{{3}^{9}}$ و سپس ثابت کنید:

$\forall m,n\in \mathbb{N};m\le n\Rightarrow {{a}^{m}}|{{a}^{n}}$
$({{3}^{9}}={{3}^{5}}\times {{3}^{4}}\overset{({{3}^{4}}=q)}{\mathop{\Rightarrow }}\,{{3}^{5}}|.....)$

ویژگی‌های رابطهٔ عاد کردن

ویژگی 1: اگر عدد a عدد b را بشمارد، آن‌گاه هر مضرب صحیح عدد b را نیز می‌شمارد؛ یعنی:

$a|b\Rightarrow a|mb$

$3|6\Rightarrow 3|6\times 5\,\,,\,\,3|6\times 4\,\,,\,\,3|6\times \left( -7 \right)\,\,,\,\,...$ :مثال

نتیجه: اگر عدد a عدد b را بشمارد، آن‌گاه ${{b}^{2}}$ را می‌شمارد و در حالت کلی ${{b}^{n}}$ را می‌شمارد که $n\in \mathbb{N}$ است. یعنی:

$a|b\Rightarrow a|{{b}^{2}}$ (الف
$a|b\Rightarrow a|{{b}^{n}}$ (ب

برای اثبات (الف) کافی است از ویژگی 1 استفاده کرده و m را مساوی با b فرض کنیم؛ و برای اثبات (ب) نیز کافی است $m={{b}^{n-1}}$ فرض شود.

سؤال: آیا از اینکه $a|bc$ می‌توان نتیجه گرفت که a حداقل یکی از دو عدد b و a را عاد می‌کند؟ به گزاره‌های زیر دقت کنید و پس از آن پاسخ دهید:

$3|6\times 9\,\,\,\,,\,\,\,\,3|6\,\,\,\,,\,\,\,3|9$ (الف
$3|6\times 5\,\,\,\,,\,\,\,\,3|6\,\,\,\,,\,\,\,3\cancel{|}5$ (ب
$6|3\times 4\,\,\,\,,\,\,\,\,6\cancel{|}3\,\,\,\,,\,\,\,6\cancel{|}4$ (ج

سؤال: آیا از اینکه $a|b$ می‌توان نتیجه گرفت که $ka|kb$ ؟ آیا از $ka|kb$ می‌توان نتیجه $a|b$ ؟ $\left( k\in \mathbb{Z} \right)$

$a|b\Rightarrow b=....\overset{\times k}{\mathop{\Rightarrow }}\,\,kb=....\Rightarrow ....$
$ka|kb\Rightarrow kb=....\overset{\div k}{\mathop{\Rightarrow }}\,\,b=....\Rightarrow ....$

ویژگی 2: اگر عدد a عدد b را بشمارد و عدد b نیز عدد c را بشمارد آن‌گاه عدد a عدد c را می‌شمارد.

$a|b\wedge b|c\Rightarrow a|c$

$\left\{ \begin{matrix} a|b\Rightarrow b=a{{q}_{1}}\left( 1 \right) \\ b|c\Rightarrow c=b{{q}_{2}} \\ \end{matrix} \right.$ :اثبات
$c=b{{q}_{2}}\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,c=....{{q}_{2}}\overset{{{q}_{1}}{{q}_{2}}=q}{\mathop{\Rightarrow }}\,c=a....\Rightarrow a|c$

این خاصیت را «خاصیت تعدی» برای رابطهٔ عاد کردن می‌نامیم.

سؤال: با استفاده از خاصیت تعدی برای رابطهٔ عاد کردن، نشان دهید که:

$a|b\Rightarrow a|{{b}^{n}}$

ویژگی 3: هرگاه عددی دو عدد را بشمارد آن‌گاه مجموع و تفاضل آن دو عدد را نیز می‌شمارد.

$a|b\wedge a|c\Rightarrow a|b\pm c$

$\left. \begin{matrix} a|b\Rightarrow b=....\times {{q}_{1}} \\ a|c\Rightarrow ....\times a{{q}_{2}} \\ \end{matrix} \right\}\Rightarrow b\pm c=....\underbrace{\left( {{q}_{1}}+{{q}_{2}} \right)}_{q}\Rightarrow a|....$ :اثبات

سؤال: آیا از اینکه $a|b+c$ همواره می‌توان نتیجه گرفت که $a|c$ یا $a|b$ ؟

اثبات: چون $a|b$ پس $b=aq$ و چون $b\ne 0$ پس $q\ne 0$ و چون $q\in \mathbb{Z}$ لذا $\left| q \right|\ge 1$ . حال اگر طرفین نامساوی اخیر را در $\left| a \right|$ ضرب کنیم خواهیم داشت:

نتیجه: اگر $a|b$ و $b|a$ آن‌گاه $a=\pm b$

$\left. \begin{matrix} a|b\overset{\left( 4 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\left| a \right|\le .... \\ b|a\overset{\left( 4 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\left| a \right|....\le \left| a \right| \\ \end{matrix} \right\}\Rightarrow \left| a \right|=\left| b \right|\Rightarrow a=\pm b$ :اثبات

1- اگر $a\ne 0$ عددی صحیح و دو عدد $\left( 7m+6 \right)$ و $\left( 6m+5 \right)$ بر $a$ بخش‌پذیر باشند ثابت کنید $a=\pm 1$

$\begin{align} & \left. \begin{matrix} a|7m+6\Rightarrow a|42m+.... \\ a|6m+5\Rightarrow ....|42m+.... \\ \end{matrix} \right\}\Rightarrow a|\left( 42m+36 \right)-\left( 42m+35 \right) \\ \end{align}$

$\Rightarrow a|1\Rightarrow a=\pm 1$ چرا؟

2- اگر $a|b$ نشان دهید که ${{a}^{n}}|{{b}^{n}}$ .

$a|b\Rightarrow b=aq\Rightarrow {{b}^{n}}=....\overset{{{q}^{n}}={q}'}{\mathop{\Rightarrow }}\,{{b}^{n}}=....{q}'\Rightarrow {{a}^{n}}|{{b}^{n}}$ :اثبات

3- اگر $a|b$ و $c|d$ نشان دهید که $ac|bd$ .

$\begin{align} & \left. \begin{matrix} a|b\Rightarrow b=a{{q}_{1}} \\ c|d\Rightarrow ....=.... \\ \end{matrix} \right\}\Rightarrow b\times d=\left( a\times c \right)\underbrace{\left( {{q}_{1}}{{q}_{2}} \right)}_{q} \\ & \Rightarrow ....=a\times c\times q\Rightarrow ....|bd \\ \end{align}$

4- اگر $a|b$ و $a|c$ نشان دهید که $a|mb\pm nc$ . (از ویژگی 1 و ویژگی 3 استفاده کنید).

شما در سال‌های قبل با تعریف و مفهوم اعداد اول آشنا شده‌اید و می‌دانید که هر عدد طبیعی و بزرگ‌تر از یک که هیچ شمارندهٔ مثبتی به‌جز یک و خودش نداشته باشد، عدد اول نامیده می‌شود. مجموعهٔ اعداد اول، که ثابت شده است مجموعه‌ای نامتناهی است. به‌صورت $P=\left\{ 2,3,5,7,11,... \right\}$ نمایش داده می‌شود.

تذکر: با توجه به تعریف عدد اول، اگر p عددی اول باشد و a عددی طبیعی و $a|p$ در این‌صورت $a=1$ یا $a=p$ .

مثال: اگر عدد طبیعی a دو عدد $\left( 9k+7 \right)$ و $\left( 7k+6 \right)$ را عاد کند، ثابت کنید $a=1$ یا $a=5$ .

$\begin{align} & a|9k+7\Rightarrow a|7\times \left( 9k+7 \right) \\ & \Rightarrow a|63k+.... \\ & a|7k+6 \\ & \Rightarrow a|9\times \left( 7k+6 \right)\Rightarrow a|....+54 \\ & \Rightarrow a|\left( ....+54 \right)-\left( 63k+.... \right) \\ & \Rightarrow a|5\Rightarrow a=....\,\,*\,\,a=.... \\ \end{align}$

خواندنی

می‌دانیم که هر عدد طبیعی و کوچک‌تر یا مساوی 10 عدد $10!$ را عاد می‌کند (چرا؟) و به‌طور کلی می‌توان نوشت: $k|n!$ ، $\forall k\le n$ ؛ بنابراین عدد $100!+2$ و همین‌طور عدد $100!+3$ و ... و بالاخره عدد $100!+100$ همه اعدادی غیر اول هستند. بنابراین با توجه به اینکه اعداد $\left( 100!+2 \right)$ و $\left( 100!+3 \right)$ و ... $\left( 100!+100 \right)$ ، تعداد 99 عدد طبیعی و متوالی‌اند ما توانسته‌ایم 99 عدد طبیعی متوالی بیابیم که هیچ‌کدام اول نباشند.

(برای اینکه نشان دهیم عدد $100!+7$ بر 7 بخش‌پذیر است، کافی است از عدد 7 در دو عدد $100!$ و 7، فاکتور بگیریم یا با استفاده از خواص عاد کردن بنویسیم: $7|7\Rightarrow 7|100!+7$ و $7|100!$

بزرگ‌ترین مقسومٌ‌علیه مشترک و کوچک‌ترین مضرب مشترک دو عدد

می‌خواهیم با توجه به تعریف رابطهٔ عاد کردن، مفاهیم ب‌م‌م (بزرگ‌ترین مقسومٌ‌علیه مشترک) و ک‌م‌م (کوچک‌ترین مضرب مشترک) دو عدد را معرفی کنیم.

توجه دارید که مقسوم‌علیه همان شمارنده است. به‌عبارت دیگر، اگر بنویسیم $a|b$ ، یعنی a شمارندهٔ b است یا b بر a بخش‌پذیر است و این یعنی a مقسوم‌علیه b است؛ و نیز توجه دارید که b مضرب a است، یعنی $b=aq$ یا $a|b$ .

تعریف: عدد طبیعی d را ب‌م‌م دو عدد صحیح a و b می‌نامیم (a و b هر دو با هم صفر نیستند) و می‌نویسیم $\left( a,b \right)=d$ ، هرگاه دو شرط (الف) و (ب) برقرار باشد.

$d|a,d|b$ (الف
$\forall m\gt 0\,;\,m|b\Rightarrow m\le d$ (ب

شرط (الف) مقسومٌ‌علیه مشترک بودن را برای d تأمین می‌کند و شرط (ب) نشان می‌دهد که d از هر مقسوم‌علیه مشترک دلخواهی چون m بزرگ‌تر است.

اگر داشته باشیم $\left( a,b \right)=1$ در این‌صورت می‌گوییم، a و b نسبت به هم اول‌اند.

مثال:

$\left( 3,4 \right)=1\,\,\,,\,\,\,\left( 4,9 \right)=1\,\,\,,\,\,\,\left( 7,11 \right)=1\,\,\,,\,\,\,\left( 1,12 \right)=1\,\,$
$\left( 6,9 \right)=3\,\,\,,\,\,\,\left( 8,16 \right)=8\,\,\,,\,\,\,\left( 0,6 \right)=6\,\,\,,\,\,\,\left( 4,-6 \right)=2\,\,$

تعریف: عدد طبیعی c را ک‌م‌م دو عدد صحیح و ناصفر a و b می‌نامیم و می‌نویسیم $\left[ a,b \right]=c$ ، هرگاه دو شرط (الف) و (ب) برقرار باشد.

$a|c\,\,,\,\,b|c$ (الف
$\forall m\gt 0\,\,,\,\,a|m\,\,,\,\,b|m\Rightarrow c\le m$ (ب

توضیح دهید که هریک از شرط‌های (الف) و (ب) کدام ویژگی را تأمین می‌کند؟

مثال:

$\left[ 3,4 \right]=12\,\,,\,\,\left[ 6,4 \right]=12\,\,,\,\,\left[ 1,8 \right]=8\,\,,\,\,\left[ -4,16 \right]=16$

1- با توجه به تعاریف ب‌م‌م و ک‌م‌م ثابت کنید:

راهنمایی: برای اثبات (الف) باید دو شرط موجود در تعریف ب‌م‌م را برای $\left| a \right|$ بررسی کنیم، یعنی نشان دهیم که $\left| a \right||a$ و ... و نیز برای هر $m\gt 0$ که $m|a$ و $m|b$ نشان دهیم $m\le ....$ و همین‌طور برای اثبات (ب) ...

2- اگر p عددی اول باشد و $a\in \mathbb{Z}$ و $p\cancel{|}a$ ، ثابت کنید، $\left( p,a \right)=1$

تذکر: توجه دارید که در مورد اعدادی که اول نباشند، مطلب کار در کلاس 2 ممکن است برقرار نباشد:

$\left( 4,6 \right)=2\ne 1$ ولی $4\cancel{|}6$ :مثال

قضیه تقسیم و کاربردها

ممکن است در تقسیم عدد صحیح a بر عدد طبیعی b، باقی‌مانده صفر نباشد، یعنی a بر b بخش‌پذیر نباشد $\left( b\cancel{|}a \right)$ . در این‌صورت قضیهٔ تقسیم که به بیان آن خواهیم پرداخت (این قضیه را بدون اثبات می‌پذیریم) کمک می‌کند تا بحث بخش‌پذیری در $\mathbb{Z}$ را کامل کنیم.

قضیه تقسیم: اگر a عددی صحیح و b عددی طبیعی باشد در این‌صورت، اعدادی صحیح و منحصربه‌فرد مانند q و r یافت می‌شوند به قسمی که $a=bq+r$ و $0\le r\lt b$ .

مثال: اگر 25 را بر 7 تقسیم کنیم داریم: $q=3$ و $r=4$ ، و به‌عبارت دیگر $25=\left( 7\times 3 \right)+4$ . حال اگر 25- را بر 7 تقسیم کنیم و $q=-3$ در نظر بگیریم، در این‌صورت تساوی $-25=7\times \left( -3 \right)-4$ حاصل می‌شود که نمی‌توان (4-) را به‌عنوان باقی‌مانده معرفی کرد، زیرا طبق قضیه تقسیم باقی‌مانده باید نامنفی و کوچک‌تر از مقسوم علیه باشد در این‌صورت با اضافه و کم کردن مضارب مثبت از مقسومٌ‌علیه، شرایط قضیه تقسیم را برقرار می‌کنیم:

$\begin{align} & -25=7\times \left( -3 \right)-4=7\times \left( -3 \right)-4-7+7 \\ & =7\times \left( -3 \right)-7+3=7\underbrace{\left[ \left( -3 \right)-1 \right]}_{q}+3\Rightarrow r=3 \\ \end{align}$

تذکر: همان‌طور که از دورهٔ ابتدایی به‌خاطر دارید در تقسیم عدد a بر a ، b را مقسوم، b را مقسومٌ‌علیه، q را خارج قسمت و r را باقی‌مانده می‌نامیم.

مثال: اگر باقی‌ماندهٔ تقسیم اعداد m و n بر 17 به‌ترتیب 5 و 3 باشد، در این‌صورت باقی‌ماندهٔ تقسیم عدد $\left( 2m-5n \right)$ بر 17 را به‌دست آورید.

حل:

$m=17{{q}_{1}}+5$ :طبق فرض
$m=17{{q}_{2}}+3$ :طبق فرض
$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 2m=2\times 17{{q}_{1}}+10 \\ & -5n=\left( -5 \right)\times 17{{q}_{2}}-15 \\ \end{align} \right.$
$\Rightarrow \left( 2m-5n \right)=17\left( 2{{q}_{1}}-5{{q}_{2}} \right)-5$
$=17\left( 2{{q}_{1}}-5{{q}_{2}} \right)-5-17+17$
$=17\left( \underbrace{2{{q}_{1}}-5{{q}_{2}}}_{{{q}_{3}}}-1 \right)+17-5$
$\Rightarrow \left( 2m-5n \right)=17\left( \underbrace{{{q}_{3}}-1}_{q} \right)+12$
$=17q+12\Rightarrow r=12$

افراز مجموعهٔ $\mathbb{Z}$ به‌کمک قضیه تقسیم

با توجه به قضیهٔ تقسیم، می‌دانیم که اگر a عددی صحیح و دلخواه باشد، با تقسیم آن بر عدد طبیعی b، و با توجه به اینکه باقی‌ماندهٔ تقسیم یعنی r در رابطهٔ $0\le r\lt b$ صدق می‌کند، برای a برحسب r دقیقاً b حالت وجود دارد، مثلاً اگر عدد صحیح a را بر 5 تقسیم کنیم در این‌صورت یا a بر 5 بخش‌پذیر است، یعنی $r=0$ ، یا باقی‌ماندهٔ تقسیم a بر 5 عدد 1 است یا .... یا باقی‌ماندهٔ تقسیم 4 است؛ به‌عبارت دیگر، $a=....$ یا $a=5k+3$ یا $a=....$ یا $a=5k+1$ یا $a=5k$ پس می‌توان گفت هر عدد صحیح مانند a را می‌توان به یکی از پنج صورت فوق نوشت.

مسئلهٔ 1: اگر $m\in \mathbb{Z}$ نشان دهید که m را به یکی از دو صورت $2k$ یا $2k+1$ (زوج یا فرد) می‌توان نوشت.

حل: کافی است m را بر 2 تقسیم کنیم؛ در این‌صورت طبق قضیهٔ تقسیم خواهیم داشت:

$m=2k+r\,\,\,,\,\,\,0\le r\lt 2\Rightarrow m=....\,\,*\,\,m=....$

مسئلهٔ 2: ثابت کنید اگر $p\gt 3$ عددی اول باشد، آن‌گاه به یکی از دو صورت $p=6k+1$ یا $p=6k+5$ نوشته می‌شود.

حل: کافی است p را بر 6 تقسیم کنیم، در این‌صورت طبق قضیهٔ تقسیم خواهیم داشت:

$\begin{align} & p=6k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & p=6k+1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ & p=6k+2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \\ & p=6k+3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right) \\ & p=6k+4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 5 \right) \\ & p=6k+5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 6 \right) \\ \end{align}$

p در حالت (1)، (3) و (5) زوج است و لذا با اول بودنِ آن تناقض دارد. در حالت (4) و با فاکتورگیری از 3 داریم:

$p=3\left( 2k+1 \right)$

یا $p=3{k}'$ یا $3|p$ که با اول بودن p در تناقض است و لذا فقط حالت‌های (2) و (6) باقی می‌ماند و حکم اثبات می‌شود.
(توجه دارید که عکس مطلب فوق در حالت کلی برقرار نیست؛ مثلاً $\left( 25=6\times 4+1 \right)$ ولی 25 اول نیست.)

مسئلهٔ 3: ابتدا ثابت کنید که هر عدد صحیح و فرد مانند a به یکی از دو صورت $4k+1$ یا $4k+3$ نوشته می‌شود، سپس نشان دهید که مربع هر عدد فرد به شکل $\left( 8t+1 \right)$ نوشته می‌شود (باقی‌ماندهٔ تقسیم مربع هر عدد فرد بر 8، مساوی با 1 است.)

حل: فرض کنیم $a\in \mathbb{Z}$ فرد باشد، اگر a را بر 4 تقسیم کنیم خواهیم داشت:

$\begin{align} & p=4k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & p=4k+1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ & p=4k+2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \\ & p=4k+3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right) \\ \end{align}$

(چهار مجموعهٔ ${{A}_{1}}=\left\{ a\in \mathbb{Z}|a=4k \right\}$ و ${{A}_{2}}=\left\{ a\in \mathbb{Z}|a=4k+1 \right\}$ و ${{A}_{3}}=\left\{ a\in \mathbb{Z}|a=4k+2 \right\}$ و ${{A}_{4}}=\left\{ a\in \mathbb{Z}|a=4k+3 \right\}$ مجموعهٔ $\mathbb{Z}$ را افراز می‌کنند.)

حالت‌های .... و .... زوج بوده و لذا $a=4k+1$ یا $a=4k+3$

$a=4k+1\Rightarrow {{a}^{2}}=16{{k}^{2}}+8k+1=8\left( \underbrace{2{{k}^{2}}+k}_{{{k}'}} \right)+1=8{k}'+1$ :اگر
$a=4k+3\Rightarrow {{a}^{2}}=16{{k}^{2}}+24k+9=16{{k}^{2}}+24k+8+1$ :اگر
$\Rightarrow {{a}^{2}}=8\left( \underbrace{2{{k}^{2}}+3k+1}_{t} \right)+1=8t+1$

1- فرض می‌کنیم $ab=cd$ (a، b، c و d اعداد صحیح و ناصفرند) در این‌صورت پنج رابطهٔ عاد کردن از این تساوی نتیجه بگیرید.

2- ثابت کنید: اگر $a|b$ آن‌گاه $a|-b$ و $-a|b$ و $-a|-b$

3- اگر $a\gt 1$ و $a|9k+4$ و $a|5k+3$ ، ثابت کنید a عددی اول است.

4- اگر عددی مانند k در $\mathbb{Z}$ باشد به‌طوری‌که $5|4k+1$ ، ثابت کنید: $25|16{{k}^{2}}+28k+6$

5- آیا از اینکه $a|b$ و $c|d$ ، همواره می‌توان نتیجه گرفت که $a+c|b+d$ ؟

6- ثابت کنید:
الف) هر دو عدد صحیح و متوالی نسبت به هم اول‌اند.
ب) هر دو عدد صحیح و فرد متوالی نسبت به هم اول‌اند.
(راهنمایی: فرض کنید $\left( m,m+1 \right)$ و ثابت کنید $d|1$ و نتیجه بگیرید $d=1$ ).

7- اگر $p\ne q$ و p و q هر دو عدد اول باشند ثابت کنید $\left( p,q \right)=1$ .

8- اگر $m,n\in \mathbb{N}$ و $a,b\in \mathbb{Z}$ ثابت کنید:

$m\le n\,,\,a|b\Rightarrow {{a}^{m}}|{{b}^{n}}$

9- اگر باقی‌ماندهٔ تقسیم عدد a بر دو عدد 7 و 8 به‌ترتیب 5 و 7 باشد، باقی‌ماندهٔ تقسیم عدد a را بر 56 بیابید.

10- اگر a عددی صحیح و فرد باشد و $b|a+2$ در این‌صورت باقی‌ماندهٔ تقسیم عدد $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+3 \right)$ بر 8 را بیابید.

11- اگر n عددی صحیح باشد ثابت کنید $3|{{n}^{3}}-n$
(راهنمایی: برای n سه حالت $n=3k$ و $n=3k+1$ و ... در نظر بگیرید و در هر حالت ثابت کنید $3|{{n}^{3}}-n$ ).

12- اگر در یک تقسیم، مقسوم و مقسومٌ‌علیه، هر دو بر عدد صحیح n بخش‌پذیر باشند، ثابت کنید باقی‌ماندهٔ تقسیم نیز همواره بر n بخش‌پذیر است.

13- اگر a عددی صحیح و دلخواه باشد ثابت کنید همواره یکی از اعداد صحیح a یا $a+2$ یا $a+4$ بر 3 بخش‌پذیر است.

14- ثابت کنید تفاضل مکعب‌های دو عدد صحیح متوالی عددی فرد است.

15- ثابت کنید حاصل ضرب سه عدد صحیح متوالی همواره بر $3!$ بخش‌پذیر است.

16- حاصل هر یک را به‌دست آورید.: $\left( m\in \mathbb{Z} \right)$

$\left( \left[ {{m}^{2}},m \right],{{m}^{5}} \right)$ (الف
$\left( 2m,6{{m}^{3}} \right)$ (ب
$\left( 3m+1,3m+2 \right)$ (پ
$\left[ {{m}^{7}},\left( {{m}^{2}},{{m}^{3}} \right) \right]$ (ت
$\left[ \left( 72,48 \right),120 \right]$ (ث

جستجوهای پرتکرار

درسنامه آموزشی فصل اول ریاضیات گسسته کلاس دوازدهم ریاضی با پاسخ درس 2: بخش‌پذیری در اعداد صحیح

با گنجینه سوال

با گنجینه سوال

عربی (3) انسانی

زیست شناسی (3)

فارسی (3)

جامعه شناسی (3)

جغرافیا (3)

شیمی (3)

سلامت و بهداشت

اصول عقاید (3)

احکام (3)

تاریخ (3) معارف

ریاضی و آمار (3)

هویت اجتماعی

زبان انگلیسی (3)

تاریخ (3)

فلسفه (2)

عربی (3)

عربی (3)

فیزیک (3) تجربی

هندسه (3)

ریاضیات گسسته

کار در کلاس (صفحهٔ 10 کتاب درسی)

ویژگی‌های رابطهٔ عاد کردن

کار در کلاس (صفحهٔ 11 کتاب درسی)

بزرگ‌ترین مقسومٌ‌علیه مشترک و کوچک‌ترین مضرب مشترک دو عدد

کار در کلاس (صفحهٔ 13 کتاب درسی)

قضیه تقسیم و کاربردها

افراز مجموعهٔ $\mathbb{Z}$ به‌کمک قضیه تقسیم

تمرین (صفحهٔ 16 کتاب درسی)

نمونه سوالات مشابه

اطلاع از تغییرات در بسته‌های گاما

کاربر عزیز سلام!

درسنامه آموزشی فصل اول ریاضیات گسسته کلاس دوازدهم ریاضی با پاسخ درس 2: بخش‌پذیری در اعداد صحیح

با گنجینه سوال

با گنجینه سوال

عربی (3) انسانی

زیست شناسی (3)

فارسی (3)

جامعه شناسی (3)

جغرافیا (3)

شیمی (3)

سلامت و بهداشت

اصول عقاید (3)

احکام (3)

تاریخ (3) معارف

ریاضی و آمار (3)

هویت اجتماعی

زبان انگلیسی (3)

تاریخ (3)

فلسفه (2)

عربی (3)

عربی (3)

فیزیک (3) تجربی

هندسه (3)

ریاضیات گسسته

کار در کلاس (صفحهٔ 10 کتاب درسی)

ویژگی‌های رابطهٔ عاد کردن

کار در کلاس (صفحهٔ 11 کتاب درسی)

بزرگ‌ترین مقسومٌ‌علیه مشترک و کوچک‌ترین مضرب مشترک دو عدد

کار در کلاس (صفحهٔ 13 کتاب درسی)

قضیه تقسیم و کاربردها

افراز مجموعهٔ Z\mathbb{Z} به‌کمک قضیه تقسیم

تمرین (صفحهٔ 16 کتاب درسی)

نمونه سوالات مشابه

افراز مجموعهٔ $\mathbb{Z}$ به‌کمک قضیه تقسیم