حاصل $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\tan \frac{\pi }{2}x=\infty $ پس شرط لازم برای وجود حد آن است که $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,(x-a)=0$ باشد پس $a=2$ قرار می‌دهیم. $t=x-2$ در این صورت $t\to 0$.

$\begin{align}
  & \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,(x-2)\tan \left( \frac{\pi }{4}x \right)=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,(t+2-2)\tan \left( \frac{\pi }{4}(t+2) \right)=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\tan \left( \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}t \right) \\
 & =\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( -t\,\cot \frac{\pi }{4}t \right)=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-t}{\tan \frac{\pi }{4}t}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-4}{\pi }\left( \frac{\frac{\pi }{4}t}{\tan \frac{\pi }{4}t} \right)=-\frac{4}{\pi }\times 1=-\frac{4}{\pi } \\
\end{align}$

بنابراین $b=-\frac{4}{\pi }$ در نتیجه $a+b\pi =2-4=-2$.