$\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{AB}\Rightarrow 3\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{AB}\Rightarrow 4\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MA}\Rightarrow \overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{AM}\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}$

$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}\Rightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}\Rightarrow \frac{3}{2}\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{NB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}=\left( \frac{2}{3}-\frac{1}{4} \right)\overrightarrow{AB}=\frac{5}{12}\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow k=\frac{5}{12}$