نکته: توان‌های ماتریس مربعی $A$ به‌صورت مقابل تعریف می‌شود: ${{A}^{n}}={{A}^{n-1}}.A=A.{{A}^{n-1}}$ 

نکته: اگر $A=\left[ \begin{matrix}    a & 0 & 0  \\    0 & b & 0  \\    0 & 0 & c  \\ \end{matrix} \right]$، آنگاه: ${{A}^{n}}=\left[ \begin{matrix}    {{a}^{n}} & 0 & 0  \\    0 & {{b}^{{}}} & 0  \\    0 & 0 & {{c}^{n}}  \\ \end{matrix} \right]$  

ابتدا داریم: ${{A}^{2}}=A.A=\left[ \begin{matrix}    1 & 1 & 1  \\    1 & 1 & 1  \\    1 & 1 & 1  \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}    1 & 1 & 1  \\    1 & 1 & 1  \\    1 & 1 & 1  \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}    3 & 3 & 3  \\    3 & 3 & 3  \\    3 & 3 & 3  \\ \end{matrix} \right]=3A$ 

${{A}^{3}}=A.{{A}^{2}}=A\times (3A)=3{{A}^{2}}=3\times 3A=9A$

$\Rightarrow  {{A}^{5}}={{A}^{2}}.{{A}^{3}}=3A\times 9A=27{{A}^{2}}=27\times 3A=81A=\left[ \begin{matrix}    81 & 81 & 81  \\    81 & 81 & 81  \\    81 & 81 & 81  \\ \end{matrix} \right]$ 

بنابراین مجموع درایه‌های ماتریس ${{A}^{5}}$ برابر است با: $9\times 81={{3}^{2}}\times {{3}^{4}}={{3}^{6}}$ 

$B=\left[ \begin{matrix}    k & 0 & 0  \\    0 & k & 0  \\    0 & 0 & k  \\ \end{matrix} \right]\Rightarrow {{B}^{3}}=\left[ \begin{matrix}    {{k}^{3}} & 0 & 0  \\    0 & {{k}^{3}} & 0  \\    0 & 0 & {{k}^{3}}  \\ \end{matrix} \right]$ 

پس مجموع درایه‌های ماتریس ${{B}^{3}}$ برابر با $3{{k}^{3}}$ است. طبق فرض این مقدار برابر ${{3}^{6}}$ است،‌ بنابراین:

$3{{k}^{3}}={{3}^{6}}\Rightarrow {{k}^{3}}={{3}^{5}}\Rightarrow  k=\sqrt[3]{{{3}^{5}}}=\sqrt[3]{{{3}^{3}}\times {{3}^{2}}}=3\sqrt[3]{9}$