$\frac{1+\tan 2x}{1-\tan 2x}=\frac{\tan \frac{\pi }{4}+\tan 2x}{1-\tan \frac{\pi }{4}\tan 2x}=\tan \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=\tan \frac{\pi }{8}$
$2x+\frac{\pi }{4}=k\pi +\frac{\pi }{8}\Rightarrow 2x=k\pi -\frac{\pi }{8}\Rightarrow x=\frac{k\pi }{2}-\frac{\pi }{16}$
$\Rightarrow 0\le x=\frac{k\pi }{2}-\frac{\pi }{16}\le 2\pi \Rightarrow \frac{1}{8}\le k\le \frac{33}{8}\xrightarrow{k\in z}1\le k\le 4$
بنابراین معادله در این بازه، $4$ جواب دارد.