راه‌حل اول: فرض کنید
$3|7n+5,\,\,\,\,\,\,3|11n+2$
در این صورت
$\left\{ \begin{matrix} 7n+5\overset{3}{\mathop{=}}\,0\xrightarrow{7\overset{3}{\mathop{=}}\,1}n+5\overset{3}{\mathop{=}}\,0 \\ n\overset{3}{\mathop{=}}\,-5\overset{3}{\mathop{=}}\,-5+6\overset{3}{\mathop{=}}\,1 \\ 11n+2\overset{3}{\mathop{=}}\,0\xrightarrow{11\overset{3}{\mathop{=}}\,2}2n+2\overset{3}{\mathop{=}}\,0 \\ 2n\overset{3}{\mathop{=}}\,-2\xrightarrow{(2,3)=1}n\overset{3}{\mathop{=}}\,-1\overset{3}{\mathop{=}}\,-1+3\overset{3}{\mathop{=}}\,2 \\\end{matrix} \right.$
پس $7n+5$ به ازای $n$ها به‌صورت $3k+1$ بر 3 بخش‌پذیر است و $11n+2$ به ازای $n$های به‌صورت $3k+2$. در نتیجه هیچ عدد طبیعی مانند $n$ وجود ندارد که هر دو عدد $7n+5$ و $11n+2$ مقسوم‌علیه مشترک برابر 3 داشته باشند.
راه‌حل دوم: فرض کنید
$d=(7n+5,11n+2)$، در این‌صورت
$\left. \begin{align} & d|7n+5 \\ & d|11n+2 \\ \end{align} \right\}\Rightarrow d|11(7n+5)-7(11n+2)$
$d|41\xrightarrow{41\,aval\,ast}d=1ya\,d=41$
در نتیجه تنها مقسوم‌علیه‌های مشترک $7n+5$ و $11n+2$ برابر 1 و 41 می‌توانند باشند و هیچ‌گاه این دو عدد همزمان بر 3 بخش‌پذیر نیستند.
محسن ذوالفقاری 
