از تابع $y={{x}^{2}}f(\frac{3}{x})$ نسبت به $x$ مشتق می‌گیریم:

${y}'=2xf(\frac{3}{x})+\frac{-3}{{{x}^{2}}}{f}'(\frac{3}{x})\times {{x}^{2}}$ 

${y}'(3)=6f(1)-3{f}'(1)\,\,\,\,\,(*)$ 

در مورد $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-3}{{{x}^{2}}-1}=2$، چون حاصل حد برابر با یک عدد شده است و حد عبارت مخرج کسر وقتی $x\to 1$ برابر با صفر است، پس حتماً حالت مبهم $\frac{0}{0}$ رخ داده است.

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-3}{{{x}^{2}}-1}=\frac{f(1)-3}{1-1}=\frac{0}{0}\Rightarrow f(1)=3\,\,\,\,\,(I)$ 

از طرفی داریم:

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-3}{{{x}^{2}}-1}=\frac{f(x)-3}{(x-1)(x+1)}=(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-3}{x-1})\times (\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x+1})={f}'(1)\times \frac{1}{2}=2$

$\Rightarrow {f}'(1)\times \frac{1}{2}=2\Rightarrow {f}'(1)=4\,\,\,\,\,(II)\xrightarrow{(*)}{y}'(3)=6f(1)-3{f}'(1)\xrightarrow{(I),(II)}{y}'(3)=6(3)-3(4)=6$