گاما رو نصب کن!

{{ number }}
اعلان ها
اعلان جدیدی وجود ندارد!
کاربر جدید

جستجو

پربازدیدها: #{{ tag.title }}

میتونی لایو بذاری!

نقاط $A(-2+\sqrt{3},1)$ و ${A}'(-2-\sqrt{3},1)$ رئوس کانونی یک بیضی هستند. اگر نسبت قطر کوچک به قطر بزرگ بیضی $\frac{1}{2}$ باشد، زاویهٔ $BF{B}'$ کدام است؟

1 ) 

${{30}^{\circ }}$

2 ) 

${{60}^{\circ }}$

3 ) 

${{90}^{\circ }}$

4 ) 

${{120}^{\circ }}$

پاسخ تشریحی :
نمایش پاسخ

فاصلهٔ $A$ تا ${A}'$ برابر با قطر بزرگ بیضی یعنی $2a$ است، پس:

 $2a=(-2+\sqrt{3})-(-2-\sqrt{3})=2\sqrt{3}\Rightarrow a=\sqrt{3}$

نسبت قطر کوچک به قطر بزرگ بیضی برابر با $\frac{2b}{2a}$ یعنی $\frac{b}{a}$ است، بنابراین:

 $\frac{b}{a}=\frac{1}{2}\xrightarrow{a=\sqrt{3}}b=\frac{\sqrt{3}}{2}$

به کمک رابطهٔ ${{a}^{2}}-{{c}^{2}}={{b}^{2}}$ داریم:

 ${{(\sqrt{3})}^{2}}-{{c}^{2}}={{(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}\Rightarrow c=\frac{3}{2}$

با توجه به شکل پایین صفحه، تانژانت زاویهٔ $\alpha $ برابر است با:

 $\tan \alpha =\frac{b}{c}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \alpha ={{30}^{\circ }}$

پس زاویهٔ $BF{B}'$ برابر با $2\alpha =2\times {{30}^{\circ }}={{60}^{\circ }}$ است.

تحلیل ویدئویی تست

رضا زینی وند