آهنگ متوسط تغییر تابع $f$ از $x={{x}_{1}}$ تا $x={{x}_{2}}$ ، برابر است با:

$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}$ 

$\left\{ \begin{matrix}    f\left( x \right)=\frac{x}{x-1}  \\    {{x}_{1}}=2,{{x}_{2}}=5  \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{\frac{5}{4}-\frac{2}{1}}{5-2}=\frac{-\frac{3}{4}}{3}=-\frac{1}{4}$

آهنگ لحظه‌ای تغییر تابع  $f$ در $x={{x}_{0}}$ ، برابر ${f}'\left( {{x}_{0}} \right)$ است، پس:

$f\left( x \right)=\frac{x}{x-1}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\frac{-1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\Rightarrow {f}'\left( a \right)=\frac{-1}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}$

طبق فرض مساله، باید مقداری از $a$ را بیابیم که در معادله‌ی زیر صدق می‌کند:

$-\frac{1}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}=-\frac{1}{4}\Rightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}=4\Rightarrow a-1=\pm 2\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}    a=3  \\    a=-1  \\ \end{matrix} \right.$