نکته: در دو دایره به شعاع‌های $R$ و ${R}'$ اگر $d$ طول خط‌المرکزین آن‌ها باشد، این دو دایره متقاطع هستند هرگاه: $\left| {R}'-R \right|\lt d\lt R+{R}'$

نکته: مختصات مرکز و شعاع دایرهٔ ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+ax+by+c=0$ به‌صورت روبه‌رو است:

مرکز$O(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}),R=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4c}$

نکته: اگر دو دایره متقاطع باشند، فقط دو مماس مشترک خارجی دارند.

ابتدا وضعیت دو دایره نسبت به یکدیگر را تعیین می‌کنیم:

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-2y-4=0\Rightarrow $ مرکز ${O}(2,1),{R}=\frac{1}{2}\sqrt{16+4-4(-4)}=\frac{1}{2}\sqrt{36}=3$

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-12=0\Rightarrow $ مرکز ${O}'(-2,0),{R}'=\frac{1}{2}\sqrt{16+0-4(-12)}=\frac{1}{2}\sqrt{64}=4$

$d=O{O}'=\sqrt{{{(2+2)}^{2}}+{{(1-0)}^{2}}}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}\Rightarrow 4-3\lt \sqrt{17}\lt 4+3$

دو دایرهٔ داده‌شده متقاطع هستند و مطابق نکته، فقط 2 مماس مشترک خارجی دارند.