مرکز و شعاع دایرهها عبارتاند از:
$\begin{align}
& {{x}^{2}}-8x+{{y}^{2}}-2y+16=0 \\
& \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
O(4,1) \\
R=\frac{1}{2}\sqrt{{{(-8)}^{2}}+{{(-2)}^{2}}-4(16)}=1 \\
\end{matrix} \right. \\
& {{x}^{2}}-2x+{{y}^{2}}-2y-k=0 \\
& \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
{O}'(1,1) \\
{R}'=\frac{1}{2}\sqrt{{{(-2)}^{2}}+{{(-2)}^{2}}-4(-k)}=\sqrt{2+k} \\
\end{matrix} \right. \\
\end{align}$
دو دایره در صورتی دارای سه مماس مشترک هستند که مماس خارج باشند.
برای اینکه دو دایره مماس خارج باشند، باید $O{O}'=R+{R}'$ باشد. بنابراین:
$\begin{align}
& O{O}'=\sqrt{{{(4-1)}^{2}}+{{(1-1)}^{2}}}=3\,\,,\,\,R+{R}'=1+\sqrt{2+k} \\
& do\,dayere\,momas\,kharejand\Rightarrow O{O}'=R+{R}' \\
& \Rightarrow 3=1+\sqrt{2+k}\Rightarrow \sqrt{2+k}=2\Rightarrow 2+k=4\Rightarrow k=2 \\
\end{align}$
محسن ذوالفقاری 
