فرض كنيد $\left( {{a}^{2}}+a+3,a-1 \right)=d$ باشد، در اين صورت داريم:

$\begin{matrix}    d\left| a-1\xrightarrow{\times a}d\left| {{a}^{2}}-a \right. \right.  \\    d\left| {{a}^{2}}+a+3\to d\left| {{a}^{2}}+a+3 \right. \right.  \\ \end{matrix}\left. \begin{matrix}    {}  \\    {}  \\ \end{matrix} \right\}\to d\left| 2a+3 \right.$

از طرفی $d\left| a-1 \right.$ ، پس $d\left| 2a-2 \right.$ و در نتيجه داريم:

$\left\{ \begin{matrix}    d\left| 2a+3 \right.  \\    d\left| 2a-2 \right.  \\ \end{matrix}\to d\left| 5 \right. \right.\Rightarrow d=1/d=5$

چون در صورت مسئله ذكر شده است كه دو عدد نسبت به هم اول‌اند، پس $d\ne 5$ ، یعنی $5a-1$ ، در نتیجه $a\ne 5k+1,a-1\ne 5k$ .