نکته: دترمینان هر ماتریس قطری برابر است با حاصل ضرب درایههای روی قطر اصلی.
ابتدا با توجه به فرض سؤال میتوان نوشت:
$A=\left[ \begin{matrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{matrix} \right]\Rightarrow {{A}^{2}}=\left[ \begin{matrix}
4 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 4 \\
\end{matrix} \right]\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,2A=\left[ \begin{matrix}
4 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 4 \\
\end{matrix} \right]$
حال حاصل عبارت خواسته شده را بهدست میآوریم:
$\left| {{B}^{2}}+2A{{B}^{2}}+{{A}^{2}}{{B}^{2}} \right|=\left| {{B}^{2}}(I+2A+{{A}^{2}}) \right|\left| {{B}^{2}} \right|\left| I+2A+{{A}^{2}} \right|={{4}^{2}}\times \left| \begin{matrix}
9 & 0 & 0 \\
0 & 9 & 0 \\
0 & 0 & 9 \\
\end{matrix} \right|={{4}^{2}}\times {{9}^{3}}$