نکته: دترمینان ماتریس‌های $2\times 2$ به‌صورت روبه‌رو به‌دست می‌آید:

$\left| \begin{matrix} \begin{matrix} a  \\ c  \\ \end{matrix} & \begin{matrix} b  \\ d  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right|=ad-bc$

نکته: اگر $A$ ماتریس مربعی مرتبهٔ $n$ و $k$ یک عدد حقیقی باشد، داریم:

$\left| K.A \right|={{K}^{n}}.\left| A \right|$

$A=\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 2\left| A \right|  \\ 17  \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \left| A \right|  \\ {{\left| A \right|}^{2}}  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right]$$\Rightarrow \left| A \right|=$$A=\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 2\left| A \right|  \\ 17  \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \left| A \right|  \\ {{\left| A \right|}^{2}}  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right]$$\Rightarrow \left| A \right|=$$2{{\left| A \right|}^{3}}-17\left| A \right|$

$\Rightarrow 2{{\left| A \right|}^{3}}-18\left| A \right|=0\Rightarrow 2\left| A \right|({{\left| A \right|}^{2}}-9)=0\xrightarrow{\left| A \right|\ne 0}\left| A \right|=\pm 3$

ماتریس $A$ از نوع مربعی و از مرتبهٔ 2 است. پس داریم:

$\left| -3{{A}^{3}} \right|={{(-3)}^{2}}{{\left| A \right|}^{3}}=9{{\left| A \right|}^{3}}=9{{(\pm 3)}^{3}}=9(\pm 27)=\pm 243$