معادلهٔ درجهٔ دوم $a{x^2} + bx + c = 0$ زمانی دارای دو ریشهٔ حقیقی متمایز است که مبین یا $\Delta $ معادله مثبت باشد، حال به بررسی شرط $\Delta $ در گزینه‌ها می‌پردازیم:

$1) - 2{x^2} + ax + 3 = 0 \Rightarrow \Delta  = {(a)^2} - 4 \times ( - 2) \times (3) = {a^2} + 24$

به ازای هر مقدار a، مبین معادله همواره مثبت است، پس این معادله همواره به ازای هر مقدار a دارای دو ریشهٔ حقیقی متمایز است.

$2)2{x^2} + ax + 1 = 0 \Rightarrow \Delta  = {(a)^2} - 4 \times (2) \times (1) = {a^2} - 8$

به ازای مقادیری از a مثلا $a = 2$، مبین معادله منفی است که در این حالت معادله فاقد ریشهٔ حقیقی می‌شود.

$3)a{x^2} + 8x - 3 = 0 \Rightarrow \Delta  = {(8)^2} - 4 \times (a) \times ( - 3) = 64 + 12a$

به ازای مقادیری از a مثلاً $a =  - 6$ مبین معادله عددی منفی می‌شود که در این حالت معادله فاقد ریشهٔ حقیقی است.

$4)2{x^2} + 3x + a = 0 \Rightarrow \Delta  = {(3)^2} - 4 \times (2) \times (a) = 9 - 8a$

به ازای $a = 2$ مبین معادله منفی می‌شود که در این حالت نیز معادله فاقد ریشهٔ حقیقی است.