گزینهٔ (۱): با فرض x=-2 در رابطه، به معادلهٔ $\sqrt{y+2}=y+2$ می‌رسیم، که دو جواب دارد. از آن جایی که به ازای x=-2 دو مقدار برای y به دست آمده، پس این رابطه، یک تابع نیست.

گزینهٔ (۲): با فرض x=1 در رابطه، به معادلهٔ ${{y}^{3}}-4y=0$ می‌رسیم، خواهیم داشت:

${{y}^{3}}-4y=0\Rightarrow y({{y}^{2}}-4)=0\Rightarrow y=0,y=2,y=-2$ 

از آن‌جایی که به ازای x=1 سه مقدار برای y به دست آمده، پس این رابطه، یک تابع نیست.

گزینهٔ (۳): با فرض x=0 در رابطه، به معادلهٔ $\left| 2y+1 \right|+y=0$ می‌رسیم، با حل این معادله خواهیم داشت:

$\left| 2y+1 \right|=-y\xrightarrow{y\le 0}{{(2y+1)}^{2}}={{y}^{2}}\Rightarrow 4{{y}^{2}}+4y+1={{y}^{2}}\Rightarrow 3{{y}^{2}}+4y+1=0$ 

در این معادله a+c=b است، پس:

$y=-1$ و $y=\frac{-1}{3}$ 

از آن‌جایی که به ازای x=0 دو مقدار برای y به دست آمده، پس این رابطه، یک تابع نیست.

گزینهٔ (۴): ابتدا با ضابطه بندی داریم:

$x={{y}^{3}}+y+\left| y \right|=\left\{ \begin{matrix}   {{y}^{3}}+2y\,\,\,,\,\,\,y\ge 0  \\   {{y}^{3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,y\lt0  \\\end{matrix} \right.$ 

(ضابطهٔ 1) ${{x}_{1}}={{x}_{2}}\Rightarrow y_{1}^{3}+2{{y}_{1}}=y_{2}^{3}+2{{y}_{2}}$ 

$\begin{align}  & \Rightarrow y_{1}^{3}-y_{2}^{3}+2({{y}_{1}}-{{y}_{2}})=0 \\  & \Rightarrow ({{y}_{1}}-{{y}_{2}})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+{{y}_{1}}{{y}_{2}})+2({{y}_{1}}-{{y}_{2}})=0 \\  & \Rightarrow ({{y}_{1}}-{{y}_{2}})\underbrace{(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+2)}_{\ge 2}=0\Rightarrow {{y}_{1}}-{{y}_{2}}=0\Rightarrow {{y}_{1}}={{y}_{2}} \\ \end{align}$ 

(ضابطهٔ 2) ${{x}_{1}}={{x}_{2}}\Rightarrow y_{1}^{3}=y_{2}^{3}\Rightarrow {{y}_{1}}={{y}_{2}}$ 

که در هر حالت به ازای هر $x\in R$ فقط یک y حقیقی پیدا می‌شود.