شما تاکنون با توابع مختلفی آشنا شده‌اید. توابع در دنیای واقعی دارای کاربردهای زیادی هستند. تابع‌های ثابت، تابع‌های همانی، تابع‌های خطی و به‌طور کلی توابع چند جمله‌ای نمونه‌هایی از توابعی هستند که در مدل سازی پدیده‌های طبیعی مورد استفاده قرار می‌گیرند. در این درس با انواع دیگری از توابع مهم و مفید آشنا می‌شویم.

توابع گویا

هر تابع به شکل

$f(x) = \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ را یک تابع گویا می‌نامیم، که در آن

${P(x)}$ و

${Q(x)}$ چند جمله‌ای هستند و چند جمله‌ای

${Q(x)}$ صفر نیست.

توابع زیر همگی گویا هستند:

$f(x) = \frac{5}{{x + 2}}$

$g(x) = \frac{{\frac{1}{3}x - 4}}{{{x^2} - 7x + 1}}$

$h(x) = \frac{{\sqrt 5 x + 2}}{{{x^3} + 1}}$

خواندنی

توابع گویا در دنیای واقعی کاربردهای فراوانی دارند. به‌طور مثال میانگین تعداد وسایل نقلیه‌ای که در یک صف منتظر ورود به یک پارکینگ هستند از تابع گویای $f(x) = \frac{{{x^2}}}{{2(1 - x)}}$ بدست می‌آید که در آن $x$ شدت ترافیک و عددی بین صفر و یک است.

مشخص کنید که هر نمودار زیر متناظر با کدام تابع است؟ دلیل بیاورید.

$\left\{ \begin{gathered} f:\mathbb{N} \to \mathbb{R}\,\,\,\,\,\,\,\ \hfill \\ \,\,\,\,\,\,\,f(x) = \frac{1}{x} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (الف

$\left\{ \begin{gathered} g:{\mathbb{R}^ + } \to \mathbb{R}\,\,\,\,\ \hfill \\ \,\,\,\,\,\,\,g(x) = \frac{1}{x} \hfill \\ \end{gathered} \right.\,$ (ب

$\left\{ \begin{gathered} h:\left\{ {1,2,3} \right\} \to \mathbb{R} \hfill \\ \,\,\,\,\,\,\,h(x) = \frac{1}{x} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (پ

$\left\{ \begin{gathered} t:\mathbb{R} - \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{R} \hfill \\ \,\,\,\,\,\,\,t(x) = \frac{1}{x} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (ت

دامنه تابع $f(x) = \frac{1}{x}$ برابر $\mathbb{R} - \left\{ 0 \right\}$ است، اما ممکن است دامنه را به مجموعه‌های دیگری محدود کنیم. دامنه $f$ را با ${D_f}$ نمایش می‌دهیم. دامنه یک تابع گویا مجموعهٔ همهٔ مقادیری است که به ازای آنها، عبارت جبریِ گویایِ نمایش دهنده ضابطهٔ تابع، تعریف شده باشد؛ مثلاً دامنه تابع $f(x) = \frac{5}{{x + 2}}$ مجموعهٔ $\mathbb{R} - \left\{ { - 2} \right\}$ است.

توابع رادیکالی (تابع ریشه دوم)

تابعی را که هر عدد نا منفی را به ریشه دوم نا منفی آن نسبت می‌دهد تابع ریشه دوم می‌نامند و به‌صورت $f(x) = \sqrt x$ یا $y = \sqrt x$ نمایش می‌دهند. نمودار تابع در شکل نشان داده شده است. دامنه و برد این تابع، بازهٔ $\left[ {0, + \infty } \right)$ است. تابع $f(x) = \sqrt x$ یک تابع رادیکالی است.

به کمک نمودار تابع $y = \sqrt x$ نمودار چهار تابع:

الف) $f(x) = \sqrt x + 3$

ب) $h(x) = \sqrt x - 3$

پ) $g(x) = \sqrt {x - 3}$

ت) $r(x) = \sqrt {x + 3}$

رسم شده‌اند. تابع مربوط به هر نمودار را مشخص و دامنه و برد آن را معلوم کنید.

مثال: دامنه تابع $f(x) = \sqrt {3x - 5}$ برابر مجموعهٔ همه اعدادی است که برای آنها $3x - 5 \geqslant 0$ و یا $x \geqslant \frac{5}{3}$ پس: ${D_f} = \left[ {\frac{5}{3}, + \infty } \right)$ .

برد این تابع نیز مجموعه اعداد نا‌منفی است

یعنی: ${R_f} = \left[ {0, + \infty } \right)$

در جدول، مقادیر تابع $f$ به‌ازای چند عدد در دامنه آن مشخص و نمودار تابع نیز در زیر جدول رسم شده است.

$\frac{{14}}{3}$	4	3	2	$\frac{5}{3}$	$x$
3	$\sqrt 7$	2	1	0	$f(x)$

الف) دامنهٔ تابع $f(x) = \sqrt {2x + 6}$ را به‌دست آورید. سپس به کمک نقطه‌یابی نمودار آن را رسم کرده و برد تابع را نیز معلوم کنید.

ب) نمودار تابع $g(x) = \sqrt {2x + 6} - 2$ .

تابع $f(x) = 7\sqrt x + 50$ قد متوسط کودکان را، به تقریب، و برحسب سانتی‌متر تا 60 ماهگی نشان می‌دهد. $x$ نشان دهنده ماه‌های پس از تولد است. در حالت کلی دامنه این تابع رادیکالی بازهٔ $\left[ {0,\infty } \right)$ است ولی در این مثال که واقعی است دامنه آن بازهٔ $\left[ {0,60} \right]$ می‌باشد.

الف) جدول زیر را کامل کنید. در همین صفحه با استفاده از این جدول نمودار تقریبی $f$ را رسم کرده‌ایم.

60	49	36	30	25	16	10	4	1	0	$x$
104/2		92	88/3	85		72/1			50	$f(x)$

ب) برد این تابع چیست؟

پ) قد یک کودک چهار ساله تقریباً چقدر است؟

ت) با استفاده از ضابطه تابع یا نمودار آن مشخص کنید که کودکی با قد 75 سانتی‌متر حدوداً چند ماهه است.

معادلات و توابع

معادلاتی که دارای دو متغیر مانند $x$ و $y$ هستند یک رابطه را نشان می‌دهند؛ مثلاً معادلهٔ $x + y = 2$ شامل همه زوج‌های مرتبی است که مجموع مؤلفه‌های آنها برابر 2 است. نمودار این معادله یک خط است.این معادله را به‌صورت $y = - x + 2$ یا $f(x) = - x + 2$ نیز نمایش می‌دهند. بسیاری از توابع با یک معادله بیان می شوند، اما الزاما یک معادله با دو متغیر برحسب $x$ و $y$ یک تابع را مشخص نمی‌کند.

مثال:

الف) در معادله $- {x^2} + y = 4$ ، $y$ را برحسب $x$ به‌دست آورید. آیا $y$ تابعی از $x$ است؟

حل: داریم $y = {x^2} + 4$ . این معادله یک سهمی را مشخص می‌کند که همان تابع $f(x) = {x^2} + 4$ است.

ب) آیا در معادله $x - {y^2} = 4$ تابعی از $x$ است؟

حل: اگر $y$ را برحسب $x$ به‌دست آوریم داریم: $y = \pm \sqrt {x - 4}$ به‌ازای $x = 5$ داریم: $y = \pm 1$ . یعنی نقاط $(5,1)$ و $(5, - 1)$ روی نمودار معادله قرار دارند. بنابراین، این معادله یک تابع را نمایش نمی‌دهد.

کدام یک از معادلات زیر یک تابع را مشخص می‌کند؟ دلیل بیاورید.

$y = \left| x \right| + 1$ (الف

$x = \left| y \right| + 1$ (ب

تابع پله‌ای - تابع جزء صحیح

هزینهٔ ارسال بسته‌های پستی به‌طور معمول تابعی از وزن آنهاست. هزینهٔ توقف خودرو در یک توقفگاه (پارکینگ) نیز تابعی از زمان توقف است. در فعالیت زیر با نمونه‌ای از این توابع آشنا می‌شویم.

هزینه ارسال یک بستهٔ پستی به مقصدی معین در جدول زیر داده شده است.

$10 \lt x \leqslant 12$	$5 \lt x \leqslant 10$	$2 \lt x \leqslant 5$	$0 \lt x \leqslant 2$	$x$ (وزن بسته) کیلوگرم
20	17	10	5	$f(x)$ (هزینه ارسال) برحسب هزار تومان

اگر حداکثر وزن بسته‌های ارسالی 12 کیلوگرم باشد،

الف) ضابطهٔ تابعی را که جدول فوق نشان می‌دهد بنویسید و دامنه و برد آن را به‌دست آورید:

$f(x)\left\{ \begin{gathered} 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \lt x \leqslant 2 \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \right.$

ب) برای ارسال دو بسته به وزن‌های 9 کیلوگرم و 11/5 کیلوگرم چه هزینه‌ای باید پرداخت؟

پ) قسمتی از نمودار این تابع در شکل زیر رسم شده است. بقیه نمودار را رسم کنید.

توابعی مانند تابع فوق را که بتوان دامنه آنها را به تعدادی بازه تقسیم کرد به گونه‌ای که تابع روی هر کدام از این بازه‌ها ثابت باشد، تابع پله‌ای می‌نامند.

1) توقفگاه (پارکینگ) یک مجتمع تفریحی ورزشی برای چهار ساعت اول توقف یک خودرو 3 هزار تومان و برای هر دو ساعت اضافه یا زمانی کمتر از آن 1000 تومان دریافت می‌کند. اگر حداکثر مدت توقف در این توقفگاه ده ساعت باشد، نمودار تابعی را که هزینه توقف را به ازای همه ساعات ممکن نشان دهد رسم کنید. دامنه و برد تابع را نیز مشخص کنید.

$f(x) = \left\{ \begin{gathered} 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \lt x \leqslant 4 \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \right.$

2) نمودار تابع پله‌ای زیر را رسم کنید:

$f(x) = \left\{ \begin{gathered} 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 3 \leqslant x \leqslant - 2 \hfill \\ - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 2 \lt x \leqslant 0 \hfill \\ 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \lt x \leqslant 4 \hfill \\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4 \lt x \lt 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

گونه خاصی از توابع پله‌ای که دارای کاربردهای زیادی نیز هست تابع جزء صحیح نام دارد. ابتدا با جزء صحیح یک عدد آشنا می‌شویم.

برای هر عدد حقیقی مانند $x$ ، جزء صحیح آن بزرگ‌ترین عدد صحیحی است که از $x$ بیشتر نباشد. جزء صحیح $x$ را با نماد $\left[ x \right]$ نمایش می‌دهیم، به‌صور مثال $\left[ { - 2/8} \right] = - 3$ و $\left[ {3/49} \right] = 3$ . مطابق با تعریف، جزء صحیح یک عدد همواره: $\left[ x \right] \leqslant x$ . اگر $x$ یک عدد صحیح باشد $\left[ x \right] = x$ . جزء صحیح اعداد نشان داده شده روی محور را بیابید.

تابعی که به هر عدد حقیقی $x$ ، جزء صحیح آن را نسبت می‌دهد تابع جزء صحیح نامیده می‌شود و آن را به‌صورت $f(x) = \left[ x \right]$ نمایش می‌دهند. ${D_f} = \mathbb{R}$ و ${R_f} = \mathbb{Z}$ . نمودار تابع با توجه به جدول در بازه $\left[ { - 2,3} \right)$ رسم شده است.

$y = \left[ x \right]$	$x$
$y = - 2$	$- 2 \leqslant x \lt - 1$
	$- 1 \leqslant x \lt 0$
	$0 \leqslant x \lt 1$
	$1 \leqslant x \lt 2$
	$2 \leqslant x \lt 3$

1) نمودار تابع $f(x) = \left[ {2x} \right]$ را در بازهٔ $\left[ { - 1,2} \right]$ رسم کنید (جدول و نمودار داده شده را کامل کنید).

$- 1 \leqslant x \leqslant 2 \Rightarrow - 2 \leqslant 2x \leqslant 4$

	$2 \leqslant 2x \lt 3$			$- 1 \leqslant 2x \lt 0$	$- 2 \leqslant 2x \lt - 1$	$2x$
		1	0		2-	$\left[ {2x} \right]$
$\frac{3}{2} \leqslant x \lt 2$				$- \frac{1}{2} \leqslant x \lt 0$	$- 1 \leqslant x \lt - \frac{1}{2}$	$x$

2) نمودار تابع $f(x) = \left[ {\frac{1}{3}x} \right]$ را در بازهٔ $\left[ { - 3,3} \right]$ رسم کنید (کامل کنید).

$0 \leqslant \frac{1}{3}x \lt 1\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ {\frac{1}{3}x} \right] = 0 \hfill \\ 0 \leqslant x \lt 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$- 1 \leqslant \frac{1}{3}x \lt 0\,\,\,\,\,\, \Rightarrow$

1) دامنهٔ توابع زیر را بیابید.

$f(x) = \frac{{x - 1}}{{2 - x}}$ (الف

$f(x) = \frac{{ - 3x}}{{{x^2} + 1}}$ (ب

$f(x) = \frac{{2x + 3}}{{{x^2} + x - 12}}$ (پ

$f(x) = \sqrt {3x + 1}$ (ت

$f(x) = 2\sqrt x - 3$ (ث

$f(x) = \sqrt {8 - x}$ (ج

2) توضیح دهید که چگونه با استفاده از نمودار تابع $f(x) = \frac{1}{x}$ می‌توان نمودار تابع $g(x) = - \frac{1}{x}$ را رسم کرد.

3) نمودار تابع $y = - \sqrt x$ را با استفاده از نمودار تابع $y = \sqrt x$ رسم کنید.

4) نمودار توابع زیر را رسم نموده و دامنه و برد هر یک را معلوم کنید.

$f(x) = \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \gt 0 \hfill \\ x - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (الف

$f(x) = \sqrt {x - 2} + 5$ (ب

$f(x) = \left\{ \begin{gathered} \sqrt x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \gt 0 \hfill \\ \sqrt {x + 2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 2 \leqslant x \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (پ

$f(x) = \left\{ \begin{gathered} - \frac{1}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \lt 0 \hfill \\ - \sqrt x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (ت

5) کدام یک از معادلات زیر یک تابع را مشخص می‌کند؟

$3x + 2y = 12$ (الف

$x = 1$ (ب

$y = - 2$ (پ

$f(x) = \left\{ \begin{gathered} x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \leqslant 0 \hfill \\ x - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (ت

${y^2} = {x^2}$ (ث

$y = \left| x \right|$ (ج

6) هزینه پاک‌سازی $x$ درصد از آلودگی‌های شهری و صنعتی از رودخانه‌ای، به وسیله تابع $f(x) = \frac{{255x}}{{100 - x}}$ محاسبه می‌شود که در آن $x$ درصد آلودگی و $f(x)$ هزینه پاک‌سازی برحسب میلیون تومان است.

الف) هزینه پاک‌سازی 50 % از آلودگی این رودخانه چقدر است؟

ب) دامنه این تابع در این حالت (واقعی) را به کمک یک بازه نمایش دهید.

7) نمودار تابع‌های زیر را رسم کنید.

$f(x) = \left[ x \right] + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 2 \leqslant x \lt 3$ (الف

$f(x) = \left[ {\frac{1}{2}x} \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 4 \leqslant x \lt 4$ (ب

8) نمودارهای دو تابع $y = \left[ {x - 3} \right]$ و $y = \left[ x \right] - 3$ را در یک دستگاه مختصات رسم کنید. چه رابطه‌ای بین این دو تابع وجود دارد؟

9) اگر تعداد افرادی که، طی یک مدت معین، به وسیله یک نوع ویروس آلوده می‌شوند با دستور $n(t) = \frac{{9500t - 2000}}{{4 + t}}$ به‌دست آید که در آن $t \gt 0$ زمان برحسب ماه است:

الف) تعداد افرادی که در انتهای ماه پنجم آلوده شده‌اند چقدر است؟

ب) پس از چند ماه تعداد افراد آلوده به 5500 نفر خواهد رسید؟

جستجوهای پرتکرار

درسنامه آموزشی فصل دوم حسابان (1) کلاس یازدهم علوم ریاضی با پاسخ درس 2: انواع توابع

با گنجینه سوال

با گنجینه سوال

دین و زندگی (2)

دین و زندگی (2)

جامعه شناسی (2)

فیزیک (2)

تاریخ معاصر ایران

علوم و فنون ادبی (2)

روانشناسی

اقتصاد

تاریخ (2)

فلسفه (1)

فارسی (2)

زبان انگلیسی (2)

عربی (2) انسانی

آمار و احتمال

فیزیک (2)

زیست شناسی (2)

ریاضی (2)

تفکر و سواد رسانه‌ای

هندسه (2)

انسان و محیط زیست

توابع گویا

کاردرکلاس (صفحه 45 کتاب درسی)

توابع رادیکالی (تابع ریشه دوم)

کاردرکلاس (صفحه 46 کتاب درسی)

کاردرکلاس (صفحه 47 کتاب درسی)

فعالیت (صفحه 47 تا 48 کتاب درسی)

معادلات و توابع

کاردرکلاس (صفحه 49 کتاب درسی)

تابع پله‌ای - تابع جزء صحیح

فعالیت (صفحه 49 کتاب درسی)

کاردرکلاس (صفحه 50 تا 51 کتاب درسی)

کاردرکلاس (صفحه 51 تا 52 کتاب درسی)

تمرین (صفحه 52 تا 53 کتاب درسی)

نمونه سوالات مشابه

اطلاع از تغییرات در بسته‌های گاما

کاربر عزیز سلام!

درسنامه آموزشی فصل دوم حسابان (1) کلاس یازدهم علوم ریاضی با پاسخ درس 2: انواع توابع

با گنجینه سوال

با گنجینه سوال

دین و زندگی (2)

دین و زندگی (2)

جامعه شناسی (2)

فیزیک (2)

تاریخ معاصر ایران

علوم و فنون ادبی (2)

روانشناسی

اقتصاد

تاریخ (2)

فلسفه (1)

فارسی (2)

زبان انگلیسی (2)

عربی (2) انسانی

آمار و احتمال

فیزیک (2)

زیست شناسی (2)

ریاضی (2)

تفکر و سواد رسانه‌ای

هندسه (2)

انسان و محیط زیست

توابع گویا

کاردرکلاس (صفحه 45 کتاب درسی)

توابع رادیکالی (تابع ریشه دوم)

کاردرکلاس (صفحه 46 کتاب درسی)

کاردرکلاس (صفحه 47 کتاب درسی)

فعالیت (صفحه 47 تا 48 کتاب درسی)

معادلات و توابع

کاردرکلاس (صفحه 49 کتاب درسی)

تابع پله‌ای - تابع جزء صحیح

فعالیت (صفحه 49 کتاب درسی)

کاردرکلاس (صفحه 50 تا 51 کتاب درسی)

کاردرکلاس (صفحه 51 تا 52 کتاب درسی)

تمرین (صفحه 52 تا 53 کتاب درسی)

نمونه سوالات مشابه