نکته: گاهی صورت یا مخرج تابع $\frac{f}{g}$ شامل یک عبارت رادیکالی است و $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = 0$. در این حالت برای محاسبۀ حد $\frac{f}{g}$ در نقطۀ a لازم است ابتدا صورت و مخرج را در یک عبارت رادیکالی ضرب کنیم تا عامل (x - a) یا عبارتی که موجب صفر شدن f و g شده است، در صورت و مخرج ظاهر شود تا با ساده کردن آن از صورت و مخرج، بتوانیم مقدار حد را در صورت وجود به دست آوریم.

وقتی $x \to  - 1$ حد صورت کسر تابع f برابر صفر است. از آن‌جا که $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f(x)$ برابر صفر نشده، پس حد مخرج کسر تابع f نیز برابر صفر است.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} (\sqrt {a{x^2} + b + x} ) = 0 \Rightarrow \sqrt {a + b}  - 1 = 0 \Rightarrow \sqrt {a + b}  = 1 \Rightarrow a + b = 1 \Rightarrow b = 1 - a$

اکنون با توجه به حاصل حد وقتی $x \to  - 1$ داریم:

$\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f(x) =  - 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{3x + 3}}{{\sqrt {a{x^2} + 1 - a}  + x}} =  - 1  \cr &  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{(3x + 3)(\sqrt {a{x^2} + 1 - a}  + x)}}{{a{x^2} + 1 - a - {x^2}}} =  - 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{3(x + 1)(1 + 1)}}{{a{x^2} - a + 1 - {x^2}}} =  - 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{6(x + 1)}}{{a({x^2} - 1) - ({x^2} - 1)}} =  - 1  \cr &  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{6(x + 1)}}{{(x + 1)(x - 1)(a - 1)}} =  - 1 \Rightarrow \frac{6}{{( - 1 - 1)(a - 1)}} =  - 1 \Rightarrow 6 = 2(a - 1) \Rightarrow a = 4 \cr} $