نکتۀ 1: $(gof)(x) = g(f(x))$

نکتۀ 2: $(a,b) \in f \Leftrightarrow (b,a) \in {f^{ - 1}}$

راه‌حل اول:

می‌دانیم $f(g(x)) = {x^2} + \left| x \right| - 5$. برای یافتن مقدار (1-)f باید به x مقدار بدهیم که $g(x) =  - 1$ باشد.

$\eqalign{
  & g(x) =  - 1 \Rightarrow {x^2} - 1 =  - 1 \Rightarrow x = 0  \cr
  & x = 0 \Rightarrow (fog)(0) = {0^2} + \left| 0 \right| - 5 \Rightarrow f(g(0)) =  - 5 \Rightarrow f( - 1) =  - 5 \cr} $

اگر ${f^{ - 1}}(1)$ را برابر a بنامیم، داریم:                                                 ${f^{ - 1}}(1) = a \Rightarrow f(a) = 1$

اکنون به حل معادلۀ $(fog)(x) = 1$ می‌پردازیم:

$(fog)(x) = 1 \Rightarrow {x^2} + \left| x \right| - 5 = 1 \Rightarrow {\left| x \right|^2} + \left| x \right| - 6 = 0 \Rightarrow (\left| x \right| + 3)(\left| x \right| - 2) = 0 \Rightarrow \left| x \right| =  - 3$ یا 

$2 \Rightarrow \left| x \right| = 2 \Rightarrow x =  \pm 2$

یعنی به‌ازای $x =  \pm 2$ ، داریم $(fog)(x) = 1$. با توجه به این‌که $g( - 2) = g(2) = 3$ یعنی $f(3) = 1$ ، پس 

${f^{ - 1}}(1) = 3$، بنابراین:                                                                 ${f^{ - 1}}(1) + f( - 1) = 3 + ( - 5) =  - 2$

راه‌حل دوم:

می‌دانیم $f(g(x)) = {x^2} + \left| x \right| - 5$، با توجه به این‌که $g(x) = {x^2} - 1$، پس

 $f({x^2} - 1) = {x^2} + \left| x \right| - 5$. اکنون با تغییر متغیر ${x^2} - 1 = t$ داریم:

${x^2} - 1 = t \Rightarrow {x^2} = t + 1 \Rightarrow x =  \pm \sqrt {t + 1} $

$f({x^2} - 1) = {x^2} + \left| x \right| - 5 \Rightarrow f(t) = t + 1 + \left| { \pm \sqrt {t + 1} } \right| - 5 \Rightarrow f(t) = t + \sqrt {t + 1}  - 4$

بنابراین ضابطۀ تابع f به صورت $f(x) = x + \sqrt {x + 1}  - 4$ است، پس:

$f( - 1) =  - 1 + \sqrt { - 1 + 1}  - 4 =  - 5$

${f^{ - 1}}(1) = a \Rightarrow f(a) = 1 \Rightarrow a + \sqrt {a + 1}  - 4 = 1 \Rightarrow \sqrt {a + 1}  = 5 - aa + 1 = 25 + {a^2} - 10a$

$ \Rightarrow {a^2} - 11a + 24 = 0 \Rightarrow a = 3$ یا a = 8 ق ق غ $ \Rightarrow $ a = 3

یعنی $f( - 1) =  - 5$ و ${f^{ - 1}}(1) = 3$، بنابراین:                                      ${f^{ - 1}}(1) + f( - 1) = 3 - 5 =  - 2$