مرکز دایره‌ها را $O$ و $O'$، شعاع آن‌ها را $R$ و $2R$ می‌گیریم. بنا بر قضیهٔ مماس و قاطع در دایرهٔ داخلی داریم: 

$A{M^2} = AO \times AD$

$ = 2R \times 4R = 8{R^2}$

$ \Rightarrow AM = 2\sqrt 2 R$

در دایرهٔ داخلی، $OM$ شعاع وارد بر نقطهٔ تماس است، پس بر خط مماس عمود است؛ یعنی $OM \bot AB$.

در مثلث $OCD$، پارهخط $O'M$ میان‌خط است، پس با $OC$ موازی است و در نتیجه $OC$ بر $AM$ عمود است، پس وتر $AB$ را نصف می‌کند و در نتیجه $AK = KB$. بنا بر قضیهٔ تالس در مثلث $AMO$ داریم:

$\frac{{AM}}{{AK}} = \frac{{AO'}}{{AO}} \Rightarrow \frac{{2\sqrt 2 R}}{{AK}} = \frac{{3R}}{{2R}}$

$ \Rightarrow AK = BK = \frac{{4\sqrt 2 R}}{3}$

دو مثلث $CKM$ و $MBD$ همنهشت هستند و در نتیجه:

$MB = KM = AM - AK = 2\sqrt 2 R - \frac{{4\sqrt 2 R}}{3} = \frac{{2\sqrt 2 R}}{3}$

اگر فرض کنیم $CM = MD = x$، آن‌گاه در دایرهٔ بزرگ‌تر بنا بر قضیهٔ وترهای متقاطع داریم:

$AM \times MB = CM \times MD \Rightarrow 2\sqrt 2 R \times \frac{{2\sqrt 2 R}}{3} = x \times x$

$ \Rightarrow \frac{{8{R^2}}}{3} = {x^2} \Rightarrow x = CM = \frac{{2\sqrt 2 R}}{{\sqrt 3 }}$

اکنون داریم:

$\frac{{MC}}{{MB}} = \frac{{\frac{{2\sqrt 2 R}}{{\sqrt 3 }}}}{{\frac{{2\sqrt 2 R}}{3}}} = \frac{3}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 $

تذکر: لازم بود در صورت مسئله قید می‌شد که $AD$ قطر دایرهٔ بزرگ‌تر است.