یک ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین با طول قاعده‌های و واحد، بر دایره‌ای محیط شده است. فاصلهٔ دورترین نقاط دایره، تا یک رأس قاعدهٔ بزرگ ذوزنقه، کدام است؟

موبایل / ایمیل

قوانین و مقررات را خواندم و می پذیرم.

لطفا کدی که به {{ identity }} ارسال شده است را وارد کنید.

کد فعال سازی :

بنظر میرسد شما قادر به دریافت پیامکهای ما نیستید!
لطفا برای فعال سازی کد
{{ receive_code }}
را از طریق شماره
{{ identity }}
به شماره
100078000
ارسال کنید.

منتظر بمانید تا فعال سازی انجام شود!

منتظر دریافت پیامک شما ...

لطفا برای حساب خود رمز عبور انتخاب کنید.

رمزعبور :

تکرار رمزعبور :

انصراف

موبایل / ایمیل

ورود | ثبت نام

لطفا کدی که برای شما ارسال شده است را وارد کنید.

کد فعال سازی :

ارسال مجدد کد فعال سازی {{ countDown }}

منتظر دریافت پیامک شما ...

برای حساب خود رمز عبور جدید انتخاب کنید.

رمزعبور :

تکرار رمزعبور :

انصراف

لطفا کمی صبر کنید ...

موبایل / ایمیل

رمزعبور

رمز عبور خود را فراموش کردید؟ بازیابی کنید.

هنوز عضو نشده اید؟ ثبت نام کنید.

انصراف

گزینه انتخاب شده در پاسخنامه درست نیست.

بیش از یک گزینه درست وجود دارد.

هیچ گزینه ای درست نیست.

اشکال تایپی در صورت سوال یا در گزینه ها وجود دارد.

این تست با تست دیگری در همین آزمون تشابه دارد.

در پاسخ تشریحی اشکال وجود دارد.

این تست خارج از بودجه بندی یا مبحث مورد نظر است.

سایر موارد

حداقل 25 کاراکتر باید وارد کنید.

هندسه ریاضیات کنکور سراسری دوره دوم متوسطه- نظری علوم ریاضی

یک ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین با طول قاعده‌های $\frac{9}{2}$ و $8$ واحد، بر دایره‌ای محیط شده است. فاصلهٔ دورترین نقاط دایره، تا یک رأس قاعدهٔ بزرگ ذوزنقه، کدام است؟

1 )

$9$

2 )

$3 + 4\sqrt 2 $

3 )

$8$

4 )

$7/5$

نمایش پاسخ

چند نکته:

1) در یک ذوزنقهٔ محیطی و متساوی‌الساقین، قطر دایرهٔ محاطی، واسطهٔ هندسی بین دو قاعده است:یعنی در شکل داریم: $AB \times CD = {(2R)^2}$

2) اگر ذوزنقه‌ای متساوی‌الساقین و محیطی باشد، نقاط تماس دایرهٔ محاطی آن با دو قاعده، وسط هر یک از قاعده‌هاست.یعنی در شکل داریم: $\begin{array}{*{20}{c}}{AM = MB\,\,\,\,\,}&{CN = ND}\end{array}$

اگر نقطهٔ تماس دایرهٔ محاطی با قاعدهٔ بزرگ‌تر ذوزنقه، $H$ باشد، آن‌گاه $H$ وسط $CD$ است و $HC = \frac{8}{2} = 4$.

چون شعاع وارد بر نقطهٔ تماس بر خط مماس عمود است، پس مثلث $OCH$ در رأس $H$ قائمه است. از طرفی اگر شعاع دایرهٔ محاطی ذوزنقه، $R$ باشد، بنا بر نکتهٔ (1) داریم:

$AB \times CD = {(2R)^2} \Rightarrow \frac{9}{2} \times 8 = 4{R^2} \Rightarrow R = 3$

در مثلث قائم‌الزاویهٔ $OCH$ داریم:

$O{C^2} = O{H^2} + H{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25 \Rightarrow OC = 5$

اگر امتداد $OC$ دایرهٔ محاطی ذوزنقه را در $M$ قطع کند، دورترین نقطهٔ دایره تا رأس $C$، نقطهٔ $M$ است و داریم:

$MC = OC + OM = 5 + 3 = 8$