با داشتن $\tan \alpha  = \frac{1}{7}$ و به کمک مثلث قائم‌الزاویه، سینوس و کسینوس $\alpha $ را حساب می‌کنیم.

می‌دانیم tan= مقابل تقسیم بر مجاور، پس ضلع مقابل و مجاور زاویهٔ $\alpha $ را به ترتیب 1 و 7 می‌گیریم و وتر را با فیثاغورس حساب می‌کنیم: 

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \alpha  = \frac{1}{{5\sqrt 2 }}}\\{\cos \alpha  = \frac{7}{{5\sqrt 2 }}}\end{array}} \right.$

چون $\alpha $ در ربع اول بود، همهٔ نسبت‌ها مثبت هستند.

حالا سینوس و کسینوس زاویهٔ $\frac{{13\pi }}{4}$ را حساب می‌کنیم:

$\sin \frac{{13\pi }}{4} = \sin (2\pi  + \pi  + \frac{\pi }{4}) = \sin (\pi  + \frac{\pi }{4}) =  - \sin \frac{\pi }{4} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

$\cos \frac{{13\pi }}{4} = \cos (2\pi  + \pi  + \frac{\pi }{4}) = \cos (\pi  + \frac{\pi }{4}) =  - \cos \frac{\pi }{4}$

$ =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

از اتحاد $\sin (\alpha  + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta  + \sin \beta \cos \alpha $ استفاده می‌کنیم:

$\sin (\frac{{13\pi }}{4} + \alpha ) = \sin \frac{{13\pi }}{4}\cos \alpha  + \sin \alpha \cos \frac{{13\pi }}{4}$

$ = ( - \frac{{\sqrt 2 }}{2})(\frac{7}{{5\sqrt 2 }}) + (\frac{1}{{5\sqrt 2 }})( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}) = \frac{{ - 7}}{{10}} - \frac{1}{{10}} = \frac{{ - 8}}{{10}} = \frac{{ - 4}}{5}$