برای آنکه تابع $f$ در $x=0$ پیوسته باشد، باید $limf(x)=f(0)$. داریم:

$_{x\to 0}^{\lim }\frac{\operatorname{Cos}x-\sqrt{\operatorname{Cos}x}}{{{x}^{2}}}\times \frac{\operatorname{Cos}x+\sqrt{\operatorname{Cos}x}}{\operatorname{Cos}x+\sqrt{\operatorname{Cos}x}}=_{x\to 0}^{\lim }\frac{{{\operatorname{Cos}}^{2}}x-\operatorname{Cos}x}{{{x}^{2}}(\operatorname{Cos}x+\sqrt{\operatorname{Cos}x})}=_{x\to 0}^{\lim }\frac{\operatorname{Cos}x(\operatorname{Cos}x-1)}{{{x}^{2}}(\operatorname{Cos}x+\sqrt{\operatorname{Cos}x})}=_{x\to 0}^{\lim }(\frac{\operatorname{Cos}x-1}{{{x}^{2}}}\times \frac{\operatorname{Cos}x}{\operatorname{Cos}x+\sqrt{\operatorname{Cos}x}})$

$=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\overset{{}}{\mathop{\lim }}}\,(\frac{\operatorname{Cos}x-1}{{{x}^{2}}}\times \frac{\operatorname{Cos}x+1}{\operatorname{Cos}x+1})=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\overset{{}}{\mathop{\lim }}}\,\frac{{{\operatorname{Cos}}^{2}}x-1}{{{x}^{2}}(\operatorname{Cos}x+1)}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\overset{{}}{\mathop{\lim }}}\,\frac{-{{\operatorname{Sin}}^{2}}x}{({{x}^{2}})(\operatorname{Cos}x+1)}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\overset{{}}{\mathop{\lim }}}\,(\frac{-1}{\operatorname{Cos}x+1}\times \frac{\operatorname{Sin}x}{x}\times \frac{\operatorname{Sin}x}{x})=\frac{1}{2}\times (-\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}$

بنابراین اگر تابع $f$ بخواهد در $x=0$ پیوسته باشد، باید: $a=-\frac{1}{4}$