نمایش اعداد حقیقی و بازه‌ها روی محور، تشابه در مثلث و رابطه تالس

مجموعه اعداد حقیقی بر روی محور اعداد به صورت خط قابل رسم است و شامل اعداد گویا، کسری غیر صحیح، اعداد اعشاری بدون تناوب و اعداد رادیکالی بدون جذر است. اعداد گویا در محور نشان داده نمی‌شوند چون بین هر دو عدد گویا بی‌شمار عدد گویا و گنگ وجود دارد. در نمایش اعداد، اگر علامت‌های بزرگ‌تر یا کوچک‌تر همراه با برابر باشد، از دایره توپر استفاده می‌شود. اشتراک مجموعه‌ها باید شامل محل اشتراک خط‌ها و دایره‌های توپر و توخالی باشد و اشتراک توپر و توخالی برابر است با تفاوت آن‌ها. در نابرابری‌ها، توان‌های زوج هر عدد بزرگ‌تر مساوی صفر هستند و رابطه‌های مهم در نابرابری‌ها بیان می‌شود، که امکان‌پذیر نیستند در موارد خاص. در روابط مثلث‌ها، اگر سه زاویه در دو مثلث برابر باشد، آن‌ها متشابه هستند و اضلاع آن‌ها متناسب است؛ مانند مثلث‌هایی با اضلاع 3، 6 و 4، 8، 5 و 10 که نسبت تشابه برابر است با 1/2. رابطه تالس بیان می‌کند که اگر چند خط موازی با استفاده از دو خط مورب قطع شوند، نسبت‌های ایجاد شده روی آن‌ها برابر است و می‌توان ارتفاع اهرام ثلاثه مصر را با استفاده از سایه‌ها و نسبت‌های تالس محاسبه کرد. در مثلث‌های متساوی الساقین، زاویه بین نیمساز و میانه بر وتر صفر درجه است، چون هر دو وارد بر وتر هستند.