Processing math: 100%

گاما رو نصب کن!

اعلان ها
اعلان جدیدی وجود ندارد!
کاربر جدید

جستجو

میتونی لایو بذاری!
درحال دریافت اطلاعات ...

درسنامه آموزشی ریاضی (1) کلاس دهم ریاضی و تجربی با پاسخ فصل چهارم: درس 2: سهمی

آخرین ویرایش: 15:41   1400/01/25 49509 گزارش خطا

آیا تاکنون به مسیری که یک اسکی باز یا موتور سوار در مسابقه پرش ارتفاع می‌پیماید، دقت کرده‌اید؟ هیچ کدام از این مسیرها، یک خط راست نیستند.
مسیر طی شده توسط اسکی باز یا موتور سوار می‌تواند توسط معادلهٔ y=ax2+bx+c محاسبه شود که در آن a، b و c اعداد حقیقی هستند و البته a0 است.

اسکی بازان

فعالیت (صفحهٔ ۷۸ کتاب درسی)

 

معادلهٔ y=x24 را در نظر بگیرید.
الف) در جدول زیر، چند نقطه که در این معادله صدق می‌کنند، آمده است. این جدول را کامل کنید.

(x,y) y=x24 x
(2,0) y=(2)24=44=0 2-
(1,3) y=(1)24=14=3 1-
(0,4) y=(0)24=04=4 0
(1,3) y=124=14=3 1
(2,0) y=224=44=0 2

نقاط به دست آمده در جدول بالا را در یک دستگاه مختصات مشخص کرده و آنها را به یکدیگر وصل می‌کنیم (شکل‌های روبه‌رو).

نمودار دستگاه مختصات

ب) پایین‌ترین نقطهٔ این نمودار چه نقطه‌ای است؟
نقطه (0,4)
آیا می‌توانید محور تقارن این نمودار را مشخص کنید؟
بله، خط x=0 (محور yها) محور تقارن این نمودار است.
پ) برای رسم این نمودار، از چند نقطه استفاده کرده‌ایم؟ آیا با نقاط کمتری نیز می‌توانیم این نمودار را رسم کنیم؟

دستگاه مختصات

از پنج نقطه استفاده کردیم تا نمودار را رسم کنیم. بله. با سه نقطه نیز می‌توان نمودار مورد نظر را رسم کرد. البته به شرطی که یکی از این سه نقطه، نقطه کمینه (پایین‌ترین نقطه) باشد و دو نقطه دیگر اطراف آن باشند.
ت) محل برخورد منحنی رسم شده با محور x ها در چه نقاطی است؟
نقاط (2,0) و (2,0) است.

نمودار هر معادله به صورت y=ax2+bx+c را که در آن a و b و c اعداد حقیقی هستند و a0 یک سهمی می‌گوییم که به یکی از دو صورت مقابل است:

نمودار  سهمی

نقطهٔ A را در شکل‌های مقابل رأس سهمی می‌گوییم.
اگر a>0 باشد، A پایین‌ترین نقطهٔ سهمی و اگر a<0 باشد، A بالاترین نقطهٔ سهمی است.
همچنین خط عمودی که از رأس سهمی می‌گذرد، خط تقارن سهمی نامیده می‌شود.

 خط تقارن سهمی نمودار  سهمی

فعالیت (صفحهٔ ۷۸ کتاب درسی)

 

معادلهٔ یک سهمی به صورت y=x24x+5 است.
الف) سمت راست این معادله را به شکل مربع کامل بنویسید.

y=x24x+5y=(x2)2+1

ب) ریشهٔ عبارت داخل پرانتز را به دست آورید و آن را در ردیف وسط جدول زیر قرار دهید. جاهای خالی را با عبارت‌های مناسب پر کنید.

x2=0
x2=0x=2

(x,y) y=x24x+5 x
(0,5) y=024×0+5=5 0
(1,2) y=124×1+5=2 1
(2,1) y=224×2+5=1 2
(3,2) y=324×3+5=2 4
(4,5) y=424×4+5=5 5

پ) پنج نقطهٔ حاصل شده در جدول بالا را به یکدیگر وصل کنید تا این سهمی رسم شود.

نمودار  سهمی

ت) آیا می‌توانید پایین‌ترین نقطهٔ این سهمی را از معادلهٔ آن به شکل y=(x2)2+1 به دست آورید.
بله، برای بدست آوردن طول این نقطه، عبارت داخل پرانتز را مساوی صفر قرار می‌دهیم. برای مشخص کردن عرض این نقطه جمله مربع کامل را صفر در نظر می‌گیریم، آنچه باقی می‌ماند عرض نقطه پایینی است. بنابراین نقطه (1,2) نقطه مورد نظر است. 

هر سهمی به صورت y=a(xh)2+k که a0 است، رأسی به مختصات (h,k) و خط تقارنی با معادلهٔ x=h دارد.

کار در کلاس (صفحهٔ ۸۰ کتاب درسی)

 

1- در هر یک از سهمی‌های زیر، رأس را مشخص و سپس آن را رسم کنید.

الف) y=(x+1)22

(x,y) y=(x+1)22 x
(0,1) y=(0+1)22=1 0
(1,2) y=(1+1)22=2 1-
(2,1) y=(2+1)22=1 2-

سهمی‌های

(1,2)= مختصات رأس سهمی
ب) y=2x2+1

(x,y) y=2x2+1 x
(1,1) y=2(1)2+1=1 1
(0,1) y=2(0)2+1=1 0
(1,1) y=2(1)2+2=1 1-

مختصات رأس سهمی

(0,1)= مختصات رأس سهمی

فعالیت (صفحهٔ ۸۰ کتاب درسی)

 

معادلهٔ سهمی به صورت y=ax2+bx+c را در نظر بگیرید.
الف) سمت راست این معادله را به شکل مربع کامل بنویسید و نشان دهید:

y=a(x+b2a)2+4acb24a

y=ax2+bx+c=a(x2+bax)+c=a(x2+bax+(b2a)2(b2a)2)+c

y=a(x2+bax+(b2a)2)+cb24ay=a(x+b2a)2+4acb24a

ب) با استفاده از قسمت قبل، نشان دهید که رأس این سهمی، نقطهٔ (b2a,4acb24a) و خط تقارن آن نیز x=b2a است.
طبق رابطه به دست آمده در قسمت قبل، ریشه عبارت داخل پرانتز طول رأس سهمی و عبارت جمع شده با جمله کامل عرض رأس سهمی است پس خط x=b2a خط تقارن سهمی خواهد بود.

x+b2a=0x=b2a

رأس سهمی:  (b2a,4acb24a)

مثال
سهمی y=2x2+4x3 را رسم می‌کنیم.
در این سهمی a=2، b=4 و c=3 است. مختصات رأس سهمی را به دست می‌آوریم.

x=b2a=44=1

اکنون در جدول زیر، سه نقطه از آن را پیدا می‌کنیم.

(x,y) y=2x2+4x3 x
(0,3) 2(0)2+4(0)3=3 0
(1,1)  2(1)2+4(1)3=1 1
(2,3)  2(2)2+4(2)3=3 2

بنابراین نمودار این سهمی به صورت مقابل خواهد بود.

نمودار سهمی

دقت کنید نقاط A و B از این سهمی که عرض یکسان دارند، نسبت به خط تقارن یعنی خط x=1 قرینه‌اند.

فعالیت (صفحهٔ ۸۱ کتاب درسی)

 

معادلهٔ دو سهمی به صورت y=x22+1 و y=2x2+1 است.
الف) مختصات رأس و دو نقطه دیگر از این دو سهمی را در جدول زیر مشخص کنید و سپس نمودار هر دو سهمی را در شکل مقابل رسم کنید و نشان دهید که مختصات رأس هر دو سهمی نقطهٔ A(0,1) است.

مختصات رأس و دو نقطه

(x,y) y=x22+1 x
(1,32) y=(1)22+1=32 1-
(0,1) y=(0)22+1=1 0
(1,32) y=(1)22+1=32 1
(x,y) y=2x2+1 x
(1,3) y=2(1)2+1=3 1-
(0,1) y=2(0)2+2=1 0
(1,3) y=2(1)2+1=3 1

ب) معادلهٔ سهمی دیگری را که نقطهٔ A رأس آن است، بنویسید و آن را در دستگاه بالا رسم کنیم.

معادلهٔ سهمی

(x,y) y=x2+1  x
(1,2) y=(1)2+1=2  1-
(0,1) y=02+1=1  0
(1,2) y=12+1=2 1

تمرین (صفحهٔ ۸۱ و ۸۲ کتاب درسی)

 

1- نمودار هر یک از سهمی‌های زیر را رسم کنید.

الف) y=(x+1)23

نمودار سهمی‌

(x,y) y=(x+1)23 x
(0,4) y=(0+1)23=4  0
(1,3) y=(1+1)23=3  1-
(2,4) y=(2+1)23=4  2-

ب) y=3x22

نمودار سهمی‌

(x,y) y=3x22 x
(1,1) y=3(1)22=1 1
(0,2) y=3(0)22=2 0
(1,1) y=3(1)22=1  1-

پ) y=xx2

نمودار سهمی‌

(x,y)  y=xx2 x
(1,2) y=(1)(1)2=2  1-
(12,14) y=12(12)2=14  12 
(2,2) y=222=2  2

ت) y=x22+x4

نمودار سهمی‌

(x,y)  y=x22+x4 x
(0,4) y=(0)22+04=4  0
(1,92) y=(1)22+(1)4=92 1-
(2,4) y=(2)22+(2)4=4  2-

2- اگر (2,5) و (0,5) دو نقطه از یک سهمی باشند، خط تقارن این سهمی را به دست آورید.
چون سهمی دارای تقارن است و دو نقطه (2,5) و (0,5) در یک عرض قرار دارند پس این دو نقطه قرینه‌ی یکدیگر نسبت به محور تقارن هستند. یعنی خط تقارن دقیقاً از وسط خط واصل دو نقطه می‌گذرد. پس خط x=1 محور تقارن این سهمی است زیرا x=1 نقطه وسط x=0 و x=2 است.
3- نمودار سهمی y=ax2+bx+c، محور yها را در نقطه‌ای به عرض 2 و محور xها را در نقاط به طول 1- و 2 قطع کرده است. معادلهٔ این سهمی را بنویسید و آن را رسم کنید.
نمودار محور yها را در نقطه‌ی 2 قطع کرده است، پس مختصات نقطه‌ی (0,2) در معادله سهمی صدق می‌کند. از طرفی نمودار محور xها را در نقاط 1- و 2 قطع می‌کند، پس مختصات نقاط (1,0) و (2,0) در معادله سهمی صدق می‌کند، در نتیجه:

2=a(0)2+b(0)+cc=2 
{0=a(1)2+b(1)+20=a(2)2+b(2)+2{ab=24a+2b=2a=1,b=1 
y=x2+x+2 

طول رأس سهمی:   b2a=12(1)=12

نمودار سهمی‌ طول رأس سهمی

(x,y)  y=x2+x+2 x
(1,0) y=(1)21+2=0  1-
(12,94) y=(12)2+12+2=94 12
(2,0) y=(2)2+2+2=0  2

4- دو پرتابگر وزنه در یک مسابقهٔ ورزشی، وزنه‌های خود را با زاویه‌های متفاوت α و β که α<β است، پرتاب کرده‌اند. پرتابگر A، زاویهٔ α را انتخاب می‌کند و مسیر طی شده از رابطهٔ y=x22+32x+2 به دست می‌آید. پرتابگر B نیز زاویهٔ β را انتخاب می‌کند و مسیر طی شده از رابطهٔ y=2x2+3x+2 به دست می‌آید. در هر دو معادله، y ارتفاع وزنه از سطح زمین و x مسافت افقی طی شده، بر حسب متر است.
الف) مسیر حرکت هر کدام از وزنه‌ها را رسم کنید.
پرتاب‌گر A

پرتاب‌گر $A$  ​نمودار سهمی

(x,y) y=x22+32x+2 x
(0,2) y=(0)22+32(0)+2=2  0
(32,258)  y=(32)22+32(32)+2=258  b2a=32
(3,2) y=(3)22+32(3)+2=2  3

پرتاب‌گر B

پرتاب‌گر $B$ نمودار سهمی

(x,y) y=2x2+3x+2 x
(0,2) y=2(0)2+3(0)+2=2 0
(34,258)  y=2(34)2+3(34)+2=258 b2a=34
(32,2) y=2(32)2+3(32)+2=2 32

ب) محل برخورد وزنه‌ها با زمین xها در چه نقاطی است؟ کدام یک از وزنه‌ها مسافت یا محور افقی بیشتری را طی کرده است؟
محل برخورد وزنه A با زمین

x22+32x+2=0x23x4=0 
(x4)(x+1)=0{x=1x=4 

مسافت منفی نمی‌شود بنابراین 1 غیر قابل قبول است.
محل برخورد وزنه B با زمین

2x2+3x+2=0Δ=324(2)(2)=25 
x=3±252(2)=3±54{x=12x=2 

مسافت منفی نمی‌شود بنابراین 12 غیر قابل قبول است.
پ) کدام یک از وزنه‌ها ارتفاع بیشتری از سطح زمین پیدا کرده است؟ اندازهٔ آنها را مشخص کنید.
هر دو وزنه در نقطه رأس خود به ارتفاع 258 متر رسیده‌اند. یعنی بیشترین ارتفاع آن‌ها یکسان است.