درسنامه آموزشی ریاضی (1) کلاس دهم ریاضی و تجربی با پاسخ فصل چهارم: درس 2: سهمی
آیا تاکنون به مسیری که یک اسکی باز یا موتور سوار در مسابقه پرش ارتفاع میپیماید، دقت کردهاید؟ هیچ کدام از این مسیرها، یک خط راست نیستند.
مسیر طی شده توسط اسکی باز یا موتور سوار میتواند توسط معادلهٔ y=ax2+bx+c محاسبه شود که در آن a، b و c اعداد حقیقی هستند و البته a≠0 است.
فعالیت (صفحهٔ ۷۸ کتاب درسی)
معادلهٔ y=x2−4 را در نظر بگیرید.
الف) در جدول زیر، چند نقطه که در این معادله صدق میکنند، آمده است. این جدول را کامل کنید.
(x,y) | y=x2−4 | x |
(−2,0) | y=(−2)2−4=4−4=0 | 2- |
(−1,−3) | y=(−1)2−4=1−4=−3 | 1- |
(0,−4) | y=(0)2−4=0−4=−4 | 0 |
(1,−3) | y=12−4=1−4=−3 | 1 |
(2,0) | y=22−4=4−4=0 | 2 |
نقاط به دست آمده در جدول بالا را در یک دستگاه مختصات مشخص کرده و آنها را به یکدیگر وصل میکنیم (شکلهای روبهرو).
ب) پایینترین نقطهٔ این نمودار چه نقطهای است؟
نقطه (0,−4)
آیا میتوانید محور تقارن این نمودار را مشخص کنید؟
بله، خط x=0 (محور yها) محور تقارن این نمودار است.
پ) برای رسم این نمودار، از چند نقطه استفاده کردهایم؟ آیا با نقاط کمتری نیز میتوانیم این نمودار را رسم کنیم؟
از پنج نقطه استفاده کردیم تا نمودار را رسم کنیم. بله. با سه نقطه نیز میتوان نمودار مورد نظر را رسم کرد. البته به شرطی که یکی از این سه نقطه، نقطه کمینه (پایینترین نقطه) باشد و دو نقطه دیگر اطراف آن باشند.
ت) محل برخورد منحنی رسم شده با محور x ها در چه نقاطی است؟
نقاط (2,0) و (−2,0) است.
فعالیت (صفحهٔ ۷۸ کتاب درسی)
معادلهٔ یک سهمی به صورت y=x2−4x+5 است.
الف) سمت راست این معادله را به شکل مربع کامل بنویسید.
y=x2−4x+5⇒y=(x−2)2+1
ب) ریشهٔ عبارت داخل پرانتز را به دست آورید و آن را در ردیف وسط جدول زیر قرار دهید. جاهای خالی را با عبارتهای مناسب پر کنید.
x−2=0⇒
x−2=0⇒x=2
(x,y) | y=x2−4x+5 | x |
(0,5) | y=02−4×0+5=5 | 0 |
(1,2) | y=12−4×1+5=2 | 1 |
(2,1) | y=22−4×2+5=1 | 2 |
(3,2) | y=32−4×3+5=2 | 4 |
(4,5) | y=42−4×4+5=5 | 5 |
پ) پنج نقطهٔ حاصل شده در جدول بالا را به یکدیگر وصل کنید تا این سهمی رسم شود.
ت) آیا میتوانید پایینترین نقطهٔ این سهمی را از معادلهٔ آن به شکل y=(x−2)2+1 به دست آورید.
بله، برای بدست آوردن طول این نقطه، عبارت داخل پرانتز را مساوی صفر قرار میدهیم. برای مشخص کردن عرض این نقطه جمله مربع کامل را صفر در نظر میگیریم، آنچه باقی میماند عرض نقطه پایینی است. بنابراین نقطه (1,2) نقطه مورد نظر است.
کار در کلاس (صفحهٔ ۸۰ کتاب درسی)
1- در هر یک از سهمیهای زیر، رأس را مشخص و سپس آن را رسم کنید.
الف) y=(x+1)2−2
(x,y) | y=(x+1)2−2 | x |
(0,−1) | y=(0+1)2−2=−1 | 0 |
(−1,−2) | y=(−1+1)2−2=−2 | 1- |
(−2,−1) | y=(−2+1)2−2=−1 | 2- |
(−1,−2)= مختصات رأس سهمی
ب) y=−2x2+1
(x,y) | y=−2x2+1 | x |
(1,−1) | y=−2(1)2+1=−1 | 1 |
(0,1) | y=−2(0)2+1=1 | 0 |
(−1,−1) | y=−2(−1)2+2=−1 | 1- |
(0,1)= مختصات رأس سهمی
فعالیت (صفحهٔ ۸۰ کتاب درسی)
معادلهٔ سهمی به صورت y=ax2+bx+c را در نظر بگیرید.
الف) سمت راست این معادله را به شکل مربع کامل بنویسید و نشان دهید:
y=a(x+b2a)2+4ac−b24a
y=ax2+bx+c=a(x2+bax)+c=a(x2+bax+(b2a)2−(b2a)2)+c
⇒y=a(x2+bax+(b2a)2)+c−b24a⇒y=a(x+b2a)2+4ac−b24a
ب) با استفاده از قسمت قبل، نشان دهید که رأس این سهمی، نقطهٔ (−b2a,4ac−b24a) و خط تقارن آن نیز x=−b2a است.
طبق رابطه به دست آمده در قسمت قبل، ریشه عبارت داخل پرانتز طول رأس سهمی و عبارت جمع شده با جمله کامل عرض رأس سهمی است پس خط x=−b2a خط تقارن سهمی خواهد بود.
x+b2a=0⇒x=−b2a
رأس سهمی: (−b2a,4ac−b24a)
فعالیت (صفحهٔ ۸۱ کتاب درسی)
معادلهٔ دو سهمی به صورت y=x22+1 و y=2x2+1 است.
الف) مختصات رأس و دو نقطه دیگر از این دو سهمی را در جدول زیر مشخص کنید و سپس نمودار هر دو سهمی را در شکل مقابل رسم کنید و نشان دهید که مختصات رأس هر دو سهمی نقطهٔ A(0,1) است.
|
|
ب) معادلهٔ سهمی دیگری را که نقطهٔ A رأس آن است، بنویسید و آن را در دستگاه بالا رسم کنیم.
(x,y) | y=x2+1 | x |
(−1,2) | y=(−1)2+1=2 | 1- |
(0,1) | y=02+1=1 | 0 |
(1,2) | y=12+1=2 | 1 |
تمرین (صفحهٔ ۸۱ و ۸۲ کتاب درسی)
1- نمودار هر یک از سهمیهای زیر را رسم کنید.
الف) y=−(x+1)2−3
(x,y) | y=−(x+1)2−3 | x |
(0,−4) | y=−(0+1)2−3=−4 | 0 |
(−1,−3) | y=−(−1+1)2−3=−3 | 1- |
(−2,−4) | y=−(−2+1)2−3=−4 | 2- |
ب) y=3x2−2
(x,y) | y=3x2−2 | x |
(1,1) | y=3(1)2−2=1 | 1 |
(0,−2) | y=3(0)2−2=−2 | 0 |
(−1,1) | y=3(−1)2−2=1 | 1- |
پ) y=x−x2
(x,y) | y=x−x2 | x |
(−1,−2) | y=(−1)−(−1)2=−2 | 1- |
(12,14) | y=12−(12)2=14 | 12 |
(2,−2) | y=2−22=−2 | 2 |
ت) y=x22+x−4
(x,y) | y=x22+x−4 | x |
(0,−4) | y=(0)22+0−4=−4 | 0 |
(−1,−92) | y=(−1)22+(−1)−4=−92 | 1- |
(−2,−4) | y=(−2)22+(−2)−4=−4 | 2- |
2- اگر (−2,5) و (0,5) دو نقطه از یک سهمی باشند، خط تقارن این سهمی را به دست آورید.
چون سهمی دارای تقارن است و دو نقطه (−2,5) و (0,5) در یک عرض قرار دارند پس این دو نقطه قرینهی یکدیگر نسبت به محور تقارن هستند. یعنی خط تقارن دقیقاً از وسط خط واصل دو نقطه میگذرد. پس خط x=−1 محور تقارن این سهمی است زیرا x=−1 نقطه وسط x=0 و x=−2 است.
3- نمودار سهمی y=ax2+bx+c، محور yها را در نقطهای به عرض 2 و محور xها را در نقاط به طول 1- و 2 قطع کرده است. معادلهٔ این سهمی را بنویسید و آن را رسم کنید.
نمودار محور yها را در نقطهی 2 قطع کرده است، پس مختصات نقطهی (0,2) در معادله سهمی صدق میکند. از طرفی نمودار محور xها را در نقاط 1- و 2 قطع میکند، پس مختصات نقاط (−1,0) و (2,0) در معادله سهمی صدق میکند، در نتیجه:
2=a(0)2+b(0)+c⇒c=2
{0=a(−1)2+b(−1)+20=a(2)2+b(2)+2⇒{a−b=−24a+2b=−2⇒a=−1,b=1
⇒y=−x2+x+2
طول رأس سهمی: −b2a=−12(−1)=12
(x,y) | y=−x2+x+2 | x |
(−1,0) | y=−(−1)2−1+2=0 | 1- |
(12,94) | y=−(12)2+12+2=94 | 12 |
(2,0) | y=−(2)2+2+2=0 | 2 |
4- دو پرتابگر وزنه در یک مسابقهٔ ورزشی، وزنههای خود را با زاویههای متفاوت α و β که α<β است، پرتاب کردهاند. پرتابگر A، زاویهٔ α را انتخاب میکند و مسیر طی شده از رابطهٔ y=−x22+32x+2 به دست میآید. پرتابگر B نیز زاویهٔ β را انتخاب میکند و مسیر طی شده از رابطهٔ y=−2x2+3x+2 به دست میآید. در هر دو معادله، y ارتفاع وزنه از سطح زمین و x مسافت افقی طی شده، بر حسب متر است.
الف) مسیر حرکت هر کدام از وزنهها را رسم کنید.
پرتابگر A
(x,y) | y=−x22+32x+2 | x |
(0,2) | y=−(0)22+32(0)+2=2 | 0 |
(32,258) | y=−(32)22+32(32)+2=258 | −b2a=32 |
(3,2) | y=−(3)22+32(3)+2=2 | 3 |
پرتابگر B
(x,y) | y=−2x2+3x+2 | x |
(0,2) | y=−2(0)2+3(0)+2=2 | 0 |
(34,258) | y=−2(34)2+3(34)+2=258 | −b2a=34 |
(32,2) | y=−2(32)2+3(32)+2=2 | 32 |
ب) محل برخورد وزنهها با زمین xها در چه نقاطی است؟ کدام یک از وزنهها مسافت یا محور افقی بیشتری را طی کرده است؟
محل برخورد وزنه A با زمین
−x22+32x+2=0⇒x2−3x−4=0
⇒(x−4)(x+1)=0⇒{x=−1x=4
مسافت منفی نمیشود بنابراین −1 غیر قابل قبول است.
محل برخورد وزنه B با زمین
−2x2+3x+2=0⇒Δ=32−4(−2)(2)=25
⇒x=−3±√252(−2)=−3±5−4⇒{x=−12x=2
مسافت منفی نمیشود بنابراین −12 غیر قابل قبول است.
پ) کدام یک از وزنهها ارتفاع بیشتری از سطح زمین پیدا کرده است؟ اندازهٔ آنها را مشخص کنید.
هر دو وزنه در نقطه رأس خود به ارتفاع 258 متر رسیدهاند. یعنی بیشترین ارتفاع آنها یکسان است.