1- در یک لوزی اندازهٔ هر ضلع $2\sqrt {10}$ و نسبت اندازه‌های دو قطر $\frac{1}{3}$ است مساحت لوزی را پیدا کنید.

${x^2} + {(3x)^2} = {(2\sqrt {10} )^2} \Rightarrow {x^2} + 9{x^2} = 40 \Rightarrow 10{x^2} = 40 \Rightarrow {x^2} = 4$

$\Rightarrow x = 2 \Rightarrow a = 12,b = 4 \Rightarrow S = \frac{1}{2} \times 12 \times 4 = 24$

2- در چهارضلعی $ABCD$، مطابق شکل $AB = AD$ و $BC = CD$ است. آیا قطرهای این چهارضلعی برهم عموداند؟ چرا؟ نشان دهید در این چهارضلعی قطر $AC$ روی نیمسازهای $\angle A$ و $\angle C$ است. اگر اندازه‌های دو قطر 8 و 6 باشند، مساحت آن را محاسبه کنید. چهارضلعی‌ای با این ویژگی کایت نام دارد. نشان دهید در کایت یک قطر عمودمنصف قطر دیگر است.

$\left. \begin{gathered}   AB = AD \hfill \\   CB = CD \hfill \\   AC = AC \hfill \\  \end{gathered}  \right\} \Rightarrow \Delta ABC \cong \Delta ACD \Rightarrow \angle {A_1} = \angle {A_2}$

$\left. \begin{gathered}   AB = AD \hfill \\   \angle {A_1} = \angle {A_2} \hfill \\   AH = AH \hfill \\  \end{gathered}  \right\} \Rightarrow \Delta ABH \cong \Delta ADH \Rightarrow \angle {H_1} = \angle {H_2} = {90^ \circ }$

$AC \bot BD \Rightarrow {S_{\square ABCD}} = \frac{1}{2}AC \times BD = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$

3- در شکل دو خط $d$ و $d'$ موازی‌اند و $ABCD$ و $ABEF$ هردو متوازی الاضلاع‌اند. اگر مساحت یکی از این متوازی الاضلاع‌ها برابر $S$ باشد، مساحت دیگری برحسب $S$ چقدر است؟

فرض کنیم فاصله دو خط موازی $d,d'$ برابر $h$ باشد در این صورت:

${S_{\square ABCD}} = {S_{\square ABEF}} = AB \times h$

4- در ذوزنقهٔ شکل زیر اندازه‌های دو قاعده $a$ و $b$ و اندازه‌های دو زاویهٔ مجاور به یک قاعده ${45^ \circ }$ است. مساحت ذوزنقه را برحسب $a$ و $b$ محاسبه کنید. از $A$ و $B$ بر قاعده $DC$ عمود کنید.

عمودهای $AF,BF$ را بر $CD$ وارد می‌کنیم چهارضلعی $ABCD$ مستطیل پس:

$AB = EF = b$

$\Delta ADF;\angle {A_1} = \angle D = {45^ \circ } \Rightarrow AF = DF = h$

$\Delta BCE;\angle {B_1} = \angle C = {45^ \circ } \Rightarrow BE = CE = h$

$\Rightarrow CD = 2h + b = a \Rightarrow h = \frac{{a - b}}{2}$

${S_{ABCD}} = \frac{1}{2}(a + b)h \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{{a + b}}{2} \times \frac{{a - b}}{2} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{2}$

5- مساحت ذوزنقهٔ زیر را به دو طریق به‌دست آورید. از مساوی قرار دادن آنها چه نتیجه‌ای به‌دست می‌آید؟

${S_{\square ABCD}} = \frac{1}{2}(AB + CD) \times AD = \frac{1}{2}(b + c)(b + c) = \frac{1}{2}{(b + c)^2}$

${S_{\square ABCD}} = {S_{\vartriangle ABM}} + {S_{\vartriangle CDM}} + {S_{\vartriangle MBC}} = \frac{1}{2}bc + \frac{1}{2}bc + \frac{1}{2}{c^2} = bc + \frac{1}{2}{a^2}$

$\Rightarrow \frac{1}{2}{(b + c)^2} = bc + \frac{1}{2}{a^2}\xrightarrow{{ \times 2}}{(b + c)^2} = 2bc + {a^2}$

$\Rightarrow {b^2} + \cancel{{2bc}} + {c^2} = \cancel{{2bc}} + {a^2} \Rightarrow {b^2} + {c^2} = {a^2}$

6- در متوازی الاضلاع $ABCD$، $M$ وسط ضلع $BC$ است و پاره‌خط $AM$ قطر $BD$ را در $N$ قطع کرده است. نشان دهید:

${S_{BMN}} = \frac{1}{{12}}{S_{ABCD}}$

${S_{BMN}} = \frac{1}{{12}}{S_{ABCD}}$

$\Delta ABC \cong \Delta ACD \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}{S_{\square ABCD}}\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

میانه‌های هر مثلث آن را به شش قسمت با مساحت‌های مساوی تقسیم می‌کنند:

$\Delta ABC;BM = MC,AO = OC \Rightarrow {S_{\Delta MNB}} = \frac{1}{6}{S_{\Delta ABC}}\,\,\,\,\,\,(2)$

$(1),(2) \Rightarrow {S_{\Delta MNB}} = \frac{1}{6}\left( {\frac{1}{2}{S_{\square ABCD}}} \right) = \frac{1}{{12}}{S_{\square ABCD}}$

7- در مثلث $ABC$، خط $MN$ موازی ضلع $BC$ است و $\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{1}{2}$. همچنین $\frac{{PC}}{{PB}} = \frac{1}{3}$ است. ${S_{AQN}}$ و ${S_{MQPB}}$ چه کسری از مساحت مثلث $ABC$ است؟

$\frac{{PC}}{{PB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{PC}}{{BC}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta APC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = 4{S_{\Delta APC}}\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

$\Delta ABC;MN||BC \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}   \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{3} \hfill \\   \Delta AQN \sim \Delta APC \hfill \\  \end{gathered}  \right.$

$\Rightarrow \frac{{{S_{\Delta ANQ}}}}{{{S_{\Delta APC}}}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{1}{9} \Rightarrow {S_{\Delta APC}} = 9{S_{\Delta ANQ}}\,\,\,\,(2)$

$\frac{{PB}}{{BC}} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta APB}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{3}{4} \Rightarrow {S_{\Delta APB}} = \frac{3}{4}{S_{\Delta ABC}}$

$\Delta ABC;MQ||BP \Rightarrow \Delta AQM \sim \Delta ABP$

$\Rightarrow \frac{{{S_{\Delta AMQ}}}}{{{S_{\Delta APB}}}} = {\left( {\frac{{AM}}{{AB}}} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{1}{9} \Rightarrow {S_{\Delta APB}} = 9{S_{\Delta AMQ}} \Rightarrow {S_{\square BPQM}} = \frac{8}{9}{S_{\Delta ABP}}\,\,\,\,\,(2)$

$(1),(2) \Rightarrow {S_{\square BPQM}} = \frac{8}{9}\left( {\frac{3}{4}{S_{\Delta ABC}}} \right) = \frac{2}{3}{S_{\Delta ABC}} \Rightarrow \frac{{{S_{\square BPQM}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{2}{3}$

8- با توجه به مساحت چندضلعی‌های شبکه‌ای، مساحت قسمت سایه‌زده را محاسبه کنید. (راهنمایی: مساحت چند ضلعی داخلی را از مساحت چند ضلعی بیرونی کم کنید.)

کافی است نقطه $N$ را روی ضلع $AB$ چنان اختیار کنیم که $AN = 20$ در این صورت دو ذوزنقه با قاعده‌های 20 و 18 و ارتفاع 15 تشکیل می‌شود.

9- یک مستطیل شبکه‌ای با ضلع‌های افقی و قائم که اندازه‌های ضلع‌های آن $m$ و $n$ واحداند مفروض است. مساحت آن را ابتدا به روش معمول و سپس به کمک فرمول پیک محاسبه و آنها را مقایسه کنید.

مساحت به روش معمول: $S = m \times n$

مساحت به کمک قضیه پیک:

$b = 2m + 2n$

$i = (m + 1) \times (n + 1) - (2m + 2n) = mn - m - n + 1$

$S = \frac{b}{2} - 1 + i = \frac{{2m + 2n}}{2} - 1 + (mn - m - n + 1) = m + n - 1 + mn - m - n + 1 = mn$

10 - مساحت یک چندضلعی شبکه‌ای 3 واحد است. جدولی تشکیل دهید و تعداد نقاط مرزی و تعداد نقاط درونی را در حالت‌هایی که امکان دارد، مشخص کنید. اگر این چندضلعی شبکه‌ای مثلث باشد در هر حالت شکل آن را رسم کنید. در حالتی که نقاط مرزی بیشترین تعداد ممکن را دارند، شکل‌های چهارضلعی‌های نظیر آن را نیز رسم کنید.