1- در شکل زیر پار‌ه‌خط $MN$ موازی با $BC$ رسم شده است. درستی و نادرستی هر عبارت را مشخص کنید:

$\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{MN}}{{BC}}$ (الف

$\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}$ (ب

$\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}$ (پ

$\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{MN}}{{BC}}$ (ت

$\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NC}}{{CA}} = \frac{{MN}}{{BC}}$ (ث

$\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}$ (ج

$\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}$ (چ

$\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{MN}}{{BC}}$ (ح

2- در شکل زیر $DE||BC$؛ باتوجه به اندازه پاره‌خط‌ها، طول‌های $DE$ و $AB$ را به‌دست آورید.

$\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}} \Rightarrow \frac{2}{{AB}} = \frac{1}{{1/5}} = \frac{{DE}}{4}$

$\left\{ \begin{gathered}   \frac{2}{{AB}} = \frac{1}{{1/5}} \Rightarrow AB = 2 \times 1/5 = 3 \hfill \\   \frac{1}{{1/5}} = \frac{{DE}}{4} \Rightarrow DE = \frac{{4 \times 1}}{{1/5}} = \frac{8}{3} \hfill \\  \end{gathered}  \right.$

3- در شکل زیر $MN||BC$؛ مقادیر $x$ و $y$ را به‌دست آورید.

$\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow \frac{x}{{x + 4}} = \frac{9}{{9 + x}} \Rightarrow$

$9x + {x^2} = 9x + 36 \Rightarrow x = 6$

$\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{MN}}{{BC}} \Rightarrow \frac{6}{{10}} = \frac{{2y - 1}}{8} \Rightarrow$

$10y - 5 = 24 \Rightarrow 10y = 24 - 5 \Rightarrow y = \frac{{19}}{{10}} = 1/9$

4- در شکل زیر می‌دانیم $AB||A'B'$ و $BC||B'C'$ با استفاده از قضیهٔ تالس و عکس آن ثابت کنید: $AC||A'C'$

در دو مثلث $O\mathop A\limits^\vartriangle  B$ و $O\mathop {A'}\limits^\vartriangle  B'$ داریم: (1) $\frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OB}}{{OB'}}$

همچنین در دو مثلث $O\mathop B\limits^\vartriangle  C$ و $O\mathop {B'}\limits^\vartriangle  C'$ داریم: (2) $\frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{{OB}}{{OB'}}$

از رابطه‌های (1) و (2) نتیجه می‌گیریم $\frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OC}}{{OC'}}$، حالا طبق عکس قضیهٔ تالس در مثلث $OA'C'$ داریم: $AC||A'C'$

5- در شکل زیر می‌دانیم $BC||DE$ و $BE||DF$، به کمک قضیهٔ تالس در مثلث‌های $ADE$ و $ADF$ و مقایسهٔ تناسب‌ها با یکدیگر، ثابت کنید: $A{E^2} = AC.AF$ (به عبارت دیگر $AE$ واسطه هندسی بین $AC$ و $AF$ است)

در مثلث $AED$ می‌دانیم $BC$ با $ED$ موازی است، طبق قضیهٔ تالس داریم: 

$\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AE}}\,\,(1)$

در مثلث $ADF$ می‌دانیم $BE$ با $DF$ موازی است. طبق قضیهٔ تالس داریم:

$\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AF}}\,\,(2)$

$(1),(2) \Rightarrow \frac{{AC}}{{AE}} = \frac{{AE}}{{AF}} \Rightarrow A{E^2} = AC.AF$

6- یکی از کاربردهای قضیهٔ تالس از زمان‌های دور تاکنون، محاسبهٔ فاصله‌های غیرقابل دسترس بوده است؛ به عنوان مثال برای تعیین یک ارتفاع بلند مانند ارتفاع یک درخت بلند در زمانی معین، طول سایهٔ درخت را روی زمین اندازه می‌گیریم؛ سپس یک قطعه چوب کوتاه را که به آن شاخص می‌گویند، طوری به‌صورت عمودی جابه‌جا می‌کنیم که سایهٔ آن روی امتداد سایهٔ درخت قرار گیرد و نوک سایهٔ شاخص نیز بر نوک سایهٔ درخت منطبق شود؛ به‌طور مثال اگر طول سایهٔ درخت 60 متر، طول سایهٔ شاخص 3 متر و طول شاخص 1 متر باشد، بلندی درخت چند متر است؟
ابتدا نقاط را نام‌گذاری می‌کنیم. با به‌کار بردن قضیهٔ تالس می‌توانیم طول درخت را بیابیم. طبق فرض داریم:

با توجه به قضیهٔ تالس از رابطهٔ زیر استفاده می‌کنیم:

$\begin{array}{*{20}{c}}   {DP = 60} \\    {PC = 3} \\    {BC = 1} \\    {DE = ?}  \end{array}$

$\frac{{PC}}{{DP}} = \frac{{BC}}{{DE}} \Rightarrow \frac{3}{{60}} = \frac{1}{{DE}} \Rightarrow DE = \frac{{1 \times 60}}{3} \Rightarrow DE = 20$

7- در ذوزنقه زیر $MN||AB||CD$، ثابت کنید:

$\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{BN}}{{NC}}$ (قضیه تالس در ذوزنقه)

(راهنمایی: یکی از قطرها را رسم کنید.)

ابتدا قطر $AC$ را رسم می‌کنیم. در مثلث $A\mathop D\limits^\vartriangle  C$ داریم: $(MO||DC)$ (1) $\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{AO}}{{OC}}$

در مثلث $CBA$ داریم: $(ON||AB)$ (2) $\frac{{BN}}{{NC}} = \frac{{OA}}{{OC}}$

از (1) و (2) داریم: $\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{BN}}{{NC}}$

8- ابعاد یک زمین استاندارد والیبال 9 متر در 18 متر است که توسط خط میانی به دو مربع $9 \times 9$ تفکیک می‌شود و تور والیبال مردان با ارتفاع 2/43 متر روی خط وسط نصب شده است. یک بازیکن با قد 180 سانتی‌متر و در فاصلهٔ دو متری تور، به هوا می‌پرد و توپی را که در ارتفاع 30 سانتی‌متری بالای سرش است با ضربه آبشار مماس بر تور وسط روانه زمین حریف می‌کند و توپ روی خط انتهای زمین حریف می‌نشیند. این بازیکن برای ضربه‌زدن چقدر به هوا پریده است؟

$\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{CE}} \Rightarrow \frac{9}{{11}} = \frac{{2/43}}{{CE}} \Rightarrow CF = \frac{{11 \times 2/43}}{9} = 2/97$

$CE$ حاصل جمع میزان پرش + قد بازیکن و فاصله توپ بازیکن است.

یعنی داریم:

میزان پرش بازیکن: $2/97 = x + 1/8 + 0/3 \Rightarrow x = 0/87$