(برای مراحل زیر از خط کش و پرگار استفاده کنید.)

1- نقطه‌ای مانند O را در صفحه در نظر بگیرید و نقاطی را مشخص کنید که فاصلهٔ یکسانی از نقطهٔ O دارند. (مثلاً همهٔ نقاطی که فاصله‌شان از نقطهٔ O برابر 2 سانتی متر است.)
کافی است دایره‌ای به شعاع 2 سانتی‌متر رسم کنیم.

2- خط d را در نظر بگیرید و تمام نقاطی که به فاصلهٔ 2 سانتی متر از خط قرار d دارند را مشخص کنید.

3- نقاط A و B را در نظر بگیرید. دهانهٔ پرگار را بیش از نصف طول پاره خط AB باز کنید و یک بار به مرکز A و بار دیگر به مرکز B و با همان شعاع قبلی کمان بزنید تا یکدیگر را در نقاط V و U قطع کنند. V و U چه ویژگی مشترکی دارند؟
فاصله U از A با فاصله U از B برابر است و فاصله‌ی V از A با فاصله‌ی V از B برابر است.

4- نقطهٔ A، مانند شکل زیر به فاصلهٔ 1 سانتی متر از خط d  قرار دارد. نقاطی از خط d را بیابید که به فاصلهٔ 2 سانتی متر از نقطهٔ A باشند.
کمانی به شعاع 2 سانتی‌متر و مرکز A رسم می‌کنیم. محل برخورد خط و کمان نقاط مورد نظر هستند.

5- نقاط B و A را به فاصلهٔ 5 سانتی متر از هم در نظر بگیرید. دهانهٔ پرگار را به اندازهٔ 3 سانتی متر باز کنید و از نقطهٔ A یک کمان بزنید. سپس دهانهٔ پرگار را به اندازهٔ 4 سانتی متر باز کنید و از نقطهٔ B یک کمان بزنید.

الف) نقاط روی کمان اول چه ویژگی مشترکی دارند.
فاصله‌ی همه‌ی این نقاط از نقطه‌ی A برابر با 3 سانتی‌متر است.

ب) نقاط روی کمان دوم چه ویژگی مشترکی دارند؟
فاصله‌ی همه‌ی نقاط از نقطه‌ی B برابر با 4 سانتی‌متر است.

پ) نقاط تقاطع دو کمان فاصله‌شان از نقاط B و A چگونه است؟ برای اینکه چنین  نقاط تقاطعی وجود داشته باشند، اندازهٔ شعاع آنها و فاصلهٔ نقاط B و A چه شرطی باید داشته باشند؟
فاصله‌ی نقاط تقاطع از A برابر با 3 سانتی‌متر و از B برابر با 4 سانتی‌متر است. برای اینکه چنین نقاط تقاطعی وجود داشته باشد باید حاصل جمع شعاع‌های دو کمان از فاصله‌ی دو نقطه‌ی A و B بیشتر باشد.

ت) طول اضلاع مثلث AUB چقدر است؟
5 سانتی‌متر= AB
3 سانتی‌متر= AU
4 سانتی‌متر= BU

1- زاویهٔ xOy و نیم خط Oz را نیمساز آن در نظر بگیرید. فرض کنید نقطهٔ A نقطه‌ای دلخواه روی Oz باشد. ثابت کنید که فاصلهٔ نقطهٔ A از دو ضلع زاویهٔ xOy یکسان است. (یعنی اگر از نقطهٔ A عمودهایی بر نیم خط‌های Oy ،Ox رسم کنیم طول آن‌ها با هم برابر است.)
از نقطه A عمودهایی را بر Ox و Oy رسم می‌کنیم و آنها را B و C می‌نامیم. ثابت می‌کنیم دو مثلث OAB و OAC با هم، هم‌نهشت هستند.

نتیجه 1: اگر نقطه‌ای روی نیمساز یک زاویه قرار داشته باشد فاصله‌اش از دو ضلع زاویه به یک اندازه است.

2- زاویهٔ xOy و نقطهٔ A را چنان در نظر می‌گیریم که فاصلهٔ نقطهٔ A از نیم خط‌های Ox و Oy باهم برابر باشد.
نشان دهید که نقطهٔ A روی نیمساز زاویهٔ xOy قرار دارد.
(راهنمایی: پاره خط OA، و دو عمود از نقطهٔ A بر خطوط Oy و Ox رسم کنید و نشان دهید پاره خط OA همان نیمساز xOy است.)

ابتدا از A عمودهایی را به Oy و Ox رسم می‌کنیم و آنها را B و C می‌نامیم. A را به O وصل کرده و ثابت می‌کنیم که دو مثلث AOB و AOC با هم هم‌نهشت هستند.

نتیجه 2: اگر نقطه‌ای به فاصلهٔ یکسان از دو ضلع یک زاویه باشد، آن نقطه روی نیمساز آن زاویه قرار دارد. 

از  (1) و (2) نتیجه می‌گیریم: هر نقطه که روی .................. یک زاویه قرار داشته باشد، .................. و هر نقطه که از دو ضلع یک زاویه به یک فاصله باشد، روی نیمساز آن زاویه قرار دارد.

1- زاویهٔ xOy را در نظر بگیرید. دهانهٔ پرگار را کمی باز کنید و به مرکز O کمانی بزنید تا نیم خط‌های Ox و Oy را به ترتیب در نقاط B و A قطع کند.
- طول پاره خط‌های OB و OA نسبت به هم چگونه‌اند؟ چرا؟ با هم برابرند، چون در حقیقت شعاع‌های یک دایره به مرکز O هستند. 

2- دهانهٔ پرگار را کمی باز کنید (بیش از نصف طول AB) و و یک بار به مرکز A بار دیگر با همان اندازه و به مرکز B یک کمان بزنید تا دو کمان مانند شکل در نقطه‌ای مانند W همدیگر را قطع کنند.
- طول پاره خط‌های BW و AW نسبت به هم چگونه‌اند؟ چرا؟ با هم برابرند، چون در هنگام رسم آنها طول دهانه پرگار تغییر نکرده است.

- پاره خط‌های WO و WB و WA را رسم کنید. دو مثلث OBW و OAW نسبت به هم چگونه‌اند؟ چرا؟ با هم هم‌نهشت هستند، زیرا:

- اندازهٔ زاویه‌های BOW و AOW نسبت به هم چگونه‌اند؟ چرا؟ با هم برابرند، چون دو مثلث OAW و OBW با هم هم‌نهشت هستند، بنا به قسمت قبل در نتیجه اجزای متناظرشان با هم برابرند.

- پاره خط OW برای زاویهٔ xOy چه نوع پاره خطی است؟ نیمساز آن است.

1- پاره خط AB و عمودمنصف آن را مانند شکل زیر در نظر بگیرید و فرض کنید W نقطه‌ای روی عمودمنصف AB باشد. نشان دهید نقطهٔ W از دوسر پاره خط AB به یک فاصله است.

W را به A و B وصل می‌کنیم و ثابت می‌کنیم که $\overline{WA}=\overline{WB}$ 

نتیجه 1: اگر نقطه‌ای روی عمودمنصف یک پاره خط قرار داشته باشد، از دوسر آن پاره خط به یک فاصله است .

2- پاره خط AB و نقطهٔ W را به گونه‌ای در نظر بگیرید که نقطهٔ W از A و B به یک فاصله باشد (یعنی WA = WB) نشان دهید W روی عمودمنصف AB قرار دارد.

(راهنمایی: از نقطهٔ W به B و A و به وسط پاره خط AB وصل کنید و نشان دهید مثلث‌های ایجاد شده با هم هم‌نهشت هستند و از این مطلب استفاده کنید و نشان دهید W روی عمودمنصف پاره خط AB قرار دارد.)

W را به A و B وصل می‌کنیم، همین طور W را به وسط پاره‌خط AB وصل کرده و آن نقطه را M می‌نامیم. حال ثابت می‌کنیم که دو مثلث WAM و WBM با هم هم‌نهشتند.

از طرفی چون ${{\widehat{M}}_{1}}$ و ${{\widehat{M}}_{2}}$مکمل هستند، پس ${{\widehat{M}}_{1}}={{\widehat{M}}_{2}}=90$

نتیجه 2: اگر نقطه‌ای از دو سر یک پاره خط به یک فاصله باشدآن نقطه روی عمود منصف آن پاره خط قرار دارد.

از (1) و (2) نتیجه می‌گیریم: هر نقطه که روی عمودمنصف یک پاره خط باشد از دو سر آن پاره‌خط به یک فاصله است  و هر نقطه که فاصله‌ی آن از دو سر پاره‌خط به یک اندازه باشد روی عمودمنصف آن پاره‌خط قرار دارد.

1- یک نقطه را در صفحه در نظر بگیرید و خطی بکشید که از آن نقطه عبور کند. چند خط متمایز می‌توانید رسم کنید که از نقطه موردنظر بگذرد؟
بی‌شمار خط می‌توان رسم کرد. از یک نقطه بی‌شمار خط عبور می‌کند.

2- دو نقطه را در یک صفحه در نظر بگیرید و خطی بکشید که از آن دو نقطه عبور کند. چند خط متمایز می‌توانید رسم کنید که از هر دو نقطهٔ موردنظر بگذرد؟ فقط یک خط می‌توان رسم کرد.

3- به نظر شما برای اینکه یک خط به طور کامل مشخص باشد، حداقل چند نقطه از آن خط را باید داشته باشیم؟
حداقل 2 نقطه از خط باید مشخص باشد، زیرا از دو نقطه‌ی متمایز فقط یک خط راست عبور می‌کند.

پاره خط AB را مانند شکل زیر در نظر بگیرید.

1- دهانهٔ پرگار را بیش از نصف طول AB باز کنید و یک بار از نقطهٔ A و بار دیگر با همان اندازه از نقطهٔ B کمان بزنید تا یکدیگر را در دو نقطه مانند U و V قطع کنند.

2- طول پاره خط‌های AU و BU نسبت به هم چگونه‌اند؟ چرا؟ AU و BU با هم برابر هستند. چون دهانه‌ی پرگار در هنگام رسم کمان‌ها ثابت مانده است.

3- طول پاره خط‌های AV و BV نسبت به هم چگونه‌اند؟ چرا؟ با هم برابر هستند، چون دهانه‌ی پرگار درزمان رسم کمان‌ها ثابت است و تغییر نکرده است.

4- آیا می‌توان گفت نقاط U و V روی عمودمنصف پاره خط AB قرار دارند؟ چرا؟ بله، با توجه به نتیجه‌ای که در فعالیت قبل گرفتیم، اگر فاصله‌ی نقطه‌ای از دو سر یک پاره خط به یک اندازه باشد، آن نقطه روی عمود منصف پاره خط قرار دارد.

5- عمودمنصف پاره خط AB را رسم کنید. کافی است دو نقطه‌ی U و V را به هم وصل می‌کنیم. خط ایجاد شده عمود منصف AB خواهد بود.

رسم خط عمود بر یک خط، از نقطه‌ای روی آن

خط d و نقطهٔ M را روی آن، مانند شکل زیر در نظر بگیرید. می‌خواهیم خطی بکشیم که از M بگذرد و بر d عمود باشد.

1- به کمک پرگار چگونه می‌توانید نقاط A و B را روی خط d بیابید؛ به گونه‌ای که M وسط پاره خط AB باشد.
کافی است که به مرکز M و شعاع دلخواه کمانی رسم کنیم که خط d را در دو نقطه قطع کند. یکی از نقاط ایجاد شده را A و دیگری را B می‌نامیم.

2- عمودمنصف پاره خط AB را رسم کنید.
کافی است با استفاده از گونیا عمودی رسم کنیم که از نقطه‌ی M عبور کند، البته از آنجا که M وسط AB است می‌توانستیم عمودمنصف AB را به روش قبل رسم کنیم که حتماً از M عبور می‌کند، چون هر نقطه که از 2 سر پاره‌خط به یک فاصله باشد، روی عمود منصف آن قرار دارد.

3- عمودمنصف پاره خط AB خطی است که بر خط d عمود بوده و از نقطهٔ M عبور می‌کند.

رسم خط عمود بر یک خط، از نقطه‌ای غیر واقع بر آن

خط d و نقطهٔ T را که غیر واقع بر آن است، مانند شکل زیر در نظر بگیرید.

می‌خواهیم خطی بکشیم که از T بگذرد و بر خط d عمود باشد.

1- به کمک پرگار چگونه می‌توانید نقاط A و B را روی خط d به گونه‌ای بیابید که از نقطهٔ T به یک فاصله باشند.
کمانی به مرکز T رسم می‌کنیم که طول این کمان از فاصله‌ی T تا d باید بیشتر باشد. این کمان الزاماً d را در دو نقطه قطع می‌کند.

2- عمودمنصف پاره خط AB را رسم کنید.
دهانه پرگار را به اندازه‌ای کمتر از طول پاره‌خط AB باز می‌کنیم. فقط باید حواسمان باشد که اندازه دهانه پرگار از نصف اندازه AB کمتر نشود. سپس دو کمان می‌زنیم یکی به مرکز نقطه A و دیگری به مرکز B اکنون نقاط تلاقی دو کمان را به هم وصل می‌کنیم که عمود منصف AB را تشکیل می‌دهد.

3- آیا عمودمنصف پاره خط AB از نقطهٔ T می‌گذرد؟ چرا؟ بله، چون فاصله‌ی T از دو سر پاره‌خط AB به یک اندازه است.

عمودمنصف پاره خط AB طی است که بر خط d عمود است و از نقطهٔ T عبور می‌کند.

رسم خط موازی با خط داده شده از یک نقطۀ غیرواقع بر آن

خط d و نقطه T مانند شکل زیر داده شده‌اند.

می‌خواهیم خطی رسم کنیم که از نقطهٔ T بگذرد و با خط d موازی باشد.

1- خط ${d_1}$ را به گونه ای رسم کنید که از نقطهٔ T بگذرد و بر خط d عمود باشد. با استفاده از گونیا عمودی از نقطه‌ی T به خط d رسم می‌کنیم.

2- خط ${d_2}$ را به گونه ای رسم کنید که از نقطهٔ T بگذرد و بر خط ${d_1}$ عمود باشد. با استفاده از گونیا عمودی از نقطه‌ی T خارج می‌کنیم و آن را d2 می‌نامیم.

3- خط ${d_2}$ نسبت به خط d چه وضعیتی دارد؟ چرا؟ (خط ${d_1}$ را مورّب در نظر بگیرید.)
d و ${d_2}$ با هم موازی‌اند. می‌دانیم دو خط عمود بر یک خط با هم موازی‌اند. اگر خط ${d_1}$ را مورب در نظر می‌گرفتیم و خط ${d_2}$ را طوری رسم می‌کردیم که زاویه‌ی بین ${d_1}$ و ${d_2}$ با زاویه‌ی بین d و ${d_1}$ برابر باشد، باز دو خط d و ${d_2}$ با هم موازی می‌شدند.