درسنامه آموزشی فصل دوم حسابان (1) کلاس یازدهم علوم ریاضی با پاسخ درس 4: اعمال روی توابع
همانگونه که عملهای جمع و ضرب در مورد دو عدد یا دو چند جملهای انجامپذیر است، برای دو تابع نیز چنین اعمالی قابل انجام است. در فعالیت زیر مثالی واقعی از این موضوع بررسی میشود.
فعالیت (صفحه 63 کتاب درسی)
فرض کنید خودرویی با سرعت ثابت در بزرگراهی درحال حرکت است. اگر خودرو با سرعت $x$ کیلومتر بر ساعت حرکت کند، مسافتی که در «زمان عکسالعمل» طی میکند از تابع $f(x) = \frac{7}{{10}}x$ بهدست میآید که در آن مقدار تابع برحسب متر است.
همچنین مسافتی که خودرو پس از فشار دادن پدال ترمز تا توقف کامل طی میکند از تابع $g(x) = \frac{1}{{100}}{x^2}$ بهدست میآید که در آن مقدار تابع برحسب متر است و $x$ سرعت خودرو برحسب کیلومتر بر ساعت است.
الف) اگر خودرویی با سرعت 100 کیلومتر برساعت حرکت کند، پس از دیدن مانع، تا توقف کامل چه مسافتی طی میشود؟
ب) اگر سرعت خودر $x$ کیلومتر بر ساعت باشد، تابعی بنویسید که مسافت طی شده توسط خودرو پس از رؤیت مانع توسط راننده و ترمز کردن را نمایش دهد. این تابع را با $h(x)$ نمایش دهید.
پ) اگر این خودرو پس از پیمودن 60 متر متوقف شود، با چه سرعتی درحال حرکت بوده است؟
در فعالیت قبل دامنه $f$ و دامنه $g$ در حالت کلی مجموعه $\mathbb{R}$ است، ولی در این مسئلهٔ واقعی دامنهٔ تابع مجموعهای مانند $\left[ {0,120} \right]$ است. بنابراین دامنه $f + g$ نیز چنین است.
نمودارهای سه تابع $f$، $g$ و $f + g$، فعالیت قبل، در شکل زیر رسم شده است.
رابطه بین این توابع را به کمک نمودار آنها توضیح دهید.
کاردرکلاس (صفحه 64 کتاب درسی)
1) اگر $f(x) = x + 2$ و $g(x) = \sqrt {x - 1} $، $f + g$ را محاسبه کنید. دامنهٔ تابع $f + g$ را بهدست آورید.
2) اگر $f = \left\{ {(1,2),( - 2,5),(0,7)} \right\}$ و $g = \left\{ {(1,5),(2,4),(0, - 1)} \right\}$
ابتدا دامنهٔ $f + g$ را بهدست آورید و سپس $f + g$ را بهصورت مجموعهای از زوجهای مرتب نمایش دهید.
مثال: اگر $f(x) = \sqrt {x + 2} $ و $g(x) = \sqrt {3 - x} $ و $h(x) = \frac{{x + 2}}{{2x + 1}}$ توابع $f + g$، $g - h$، $gh$ و $\frac{f}{g}$ را محاسبه کنید و دامنهٔ آنها را بهدست آورید. کدام یک از مقادیر $(f + g)(2)$ و $(f + g)(5)$ وجود دارند؟
حل: ابتدا دامنه هریک از توابع را بهدست میآوریم:
${D_h} = \mathbb{R} - \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}$
${D_g} = \left( { - \infty ,3} \right]$
${D_f} = \left[ { - 2,\infty } \right)$
$(f + g)(2) = 3$ ولی $(f + g)(5)$ وجود ندارد.
$\begin{gathered}
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = \sqrt {x + 2} + \sqrt {3 - x} \hfill \\
{D_{f + g}} = {D_f} \cap {D_g} = \left[ { - 2,3} \right] \hfill \\
\end{gathered} $
$\begin{gathered}
(g.h)(x) = g(x)h(x) = (\sqrt {3 - x} )(\frac{{x + 2}}{{2x + 1}}) \hfill \\
{D_{g.h}} = {D_g} \cap {D_h} = \left( { - \infty ,3} \right] - \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\} \hfill \\
\end{gathered} $
$\begin{gathered}
(g - h)(x) = g(x) - h(x) = \sqrt {3 - x} - \frac{{x + 2}}{{2x + 1}} \hfill \\
{D_{g - h}} = {D_g} \cap {D_h} = ( - \infty , - \frac{1}{2}) \cup \left( { - \frac{1}{2},3} \right] \hfill \\
\end{gathered} $
$\begin{gathered}
(\frac{f}{g})(x) = \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{{\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {3 - x} }} \hfill \\
{D_{\frac{f}{g}}} = {D_f} \cap {D_g} - \left\{ {x|g(x) = 0} \right\} = \left[ { - 2,3} \right] - \left\{ 3 \right\} \hfill \\
\end{gathered} $
فعالیت (صفحه 65 کتاب درسی)
- در شکل زیر نمودارهای دو تابع $f$ و $g$ داده شدهاند.
الف) دامنه $f$ و دامنه $g$ و ضابطههای $f$ و $g$ را بنویسید.
ب) دامنه و ضابطه توابع $f + g$، $f - g$، $f.g$ و $\frac{f}{g}$ را بهدست آورید.
پ) نمودار $f + g$ در شکل رسم شده است. توضیح دهید چگونه این نمودار را رسم کردهایم.
ت) توضیح دهید بقیه نمودارهای توابع داده شده در قسمت (ب) را چگونه میتوان رسم کرد.
کاردرکلاس (صفحه 66 کتاب درسی)
نمودارهای توابع $f$ و $g$ داده شده است.
الف) مقادیر $(f + g)(1)$ و $(f + g)( - 1)$ را بهدست آورید.
ب) با استفاده از نمودارهای $f$ و $g$ نمودار تابع $f + g$ را در همین شکل رسم کنید.
پ) ضابطه توابع $f + g$ و $f$،$g$ را بهدست آورید.
ت) نمودار $f + g$ را به کمک ضابطه آن رسم کنید و با (ب) مقایسه کنید.
ترکیب توابع
با داشتن دو تابع $f$ و $g$ به شیوهای دیگر هم میتوان تابع جدیدی ساخت. در فعالیت زیر با این موضوع آشنا میشویم.
فعالیت (صفحه 66 کتاب درسی)
تابع $f(x) = \frac{5}{9}(x - 32)$ درجه فارنهایت را به درجه سانتیگراد تبدیل میکند.
الف) $f(x) = \frac{5}{9}(x - 32)$ به چه معنی است؟ 50 درجهٔ فارنهایت چند درجه سانتیگراد است؟
ب) تابع $g(x) = x + 273$ درجه سانتیگراد را به درجهٔ کلوین تبدیل میکند. $g(0) = 273$ به چه معنی است؟
پ) مطابق نمودارهای داده شده میتوانیم $f$ و $g$ را همانند دو ماشین درنظر بگیریم. یکی از ماشینها فارنهایت را به سانتیگراد و دیگری سانتیگراد را به کلوین تبدیل میکند. به کمک نمودارها نشان دهید که 5 درجهٔ فارنهایت معادل چند درجهٔ کلوین است؟
$f(5) = .........$
$g\left( {f(5)} \right) = g(...)$
ت) اگر $x$ ورودی تابع $f$ باشد، خروجی آن ............. است و اگر ورودی تابع $g$، ....... باشد خروجی آن $g\left( {f(x)} \right)$ است.
ث) ت را با تکمیل نمودارهای زیر تکرار کنید.
نمودارهای بالا بهصورت زیر هم میتوان نمایش داد:
اما $g\left( {f(x)} \right)$ را چگونه میتوان محاسبه کرد؟ داریم:
$g\left( {f(x)} \right) = g(\frac{5}{9}(x - 32))$
و میدانیم تابع $g$ به هر ورودی 273 واحد اضافه میکند. پس:
$g\left( {f(x)} \right) = \frac{5}{9}(x - 32) + 273$
این یک تابع جدید است که درجه فارنهایت را به کلوین تبدیل میکند و به دلیل شیوهٔ محاسبه آن با $gof$ (بخوانید جیاواف) نمایش داده میشود. در حقیقت $gof$ نیز همانند ماشینی عمل میکند که ورودی $x$ را به $g\left( {f(x)} \right)$ تبدیل میکند.
کاردرکلاس (صفحه 68 کتاب درسی)
اگر $f(x) = {x^2} + 1$ و $g(x) = 2x + 3$
الف) دامنه و ضابطه تابعهای $fog$ و $gof$ را بهدست آورید.
ب) آیا تابعهای $gof$ و $fog$ مساویاند؟
مثال: اگر داشته باشیم $f(x) = \sqrt {x - 1} $ و $g(x) = {x^2} + 3$، دامنه و ضابطهٔ توابع $fog$ و $gof$ را بهدست آورید.
حل: داریم،
${D_f} = \left[ {1,\infty } \right)$ و ${D_g} = \mathbb{R}$
$(fog)(x) = f({x^2} + 3) = \sqrt {{x^2} + 3 - 1} = \sqrt {{x^2} + 2} $
${D_{fog}} = \left\{ {x \in {D_g}\left| {g(x) \in {D_f}} \right.} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {g(x) \in \left[ {1,\infty } \right)} \right.} \right\}$
$ = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {{x^2} + 3 \geqslant 1} \right.} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {{x^2} \geqslant - 2} \right.} \right\} = \mathbb{R}$
${D_{gof}} = \left\{ {x \in {D_f}\left| {f(x) \in {D_g}} \right.} \right\} = \left\{ {x \in \left[ {1,\infty } \right)\left| {\sqrt {x - 1} \in \mathbb{R}} \right.} \right\} = \left[ {1,\infty } \right)$
$(gof)(x) = g(\sqrt {x - 1} ) = {(\sqrt {x - 1} )^2} + 3$
توجه کنید که $gof$ برای اعداد کمتر از 1 تعریف نشده است. به طور مثال $(gof)(\frac{1}{2})$ یا $(gof)(0)$ معنی ندارد. با این شرط $(gof)(x)$ را بهصورت زیر هم میتوان نمایش داد:
$(gof)(x) = x - 1 + 3$
$(gof)(x) = x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \in \left[ {1,\infty } \right)$
کاردرکلاس (صفحه 68 کتاب درسی)
اگر $f = \left\{ {(11,7),( - 2,4),(3, - 5),(2, - 5)} \right\}$ و $g = \left\{ {(2,11),(4, - 2),(6,3),(3,2)} \right\}$، ابتدا ${D_{fog}}$ و ${D_{gof}}$ و سپس توابع $fog$ و $gof$ را محاسبه کنید.
تمرین (صفحه 69 تا 70 کتاب درسی)
1) اگر $f(x) = 4x$ و $g(x) = 2 - x$، توابع $\frac{f}{g}$، $f - g$ و $fog$ را به همراه دامنهٔ آنها بهدست آورید.
2) برای دو تابع $f(x) = \frac{1}{{x - 3}}$ و $g(x) = \frac{4}{x}$ تابع $fog$ و دامنهٔ آن را بهدست آورید.
3) کدام یک از گزارههای زیر درست و کدام یک نادرست است؟
الف) اگر $g(4) = 7$ و $f(7) = 5$ آنگاه $(fog)(4) = 35$
ب) اگر $f(x) = x + 4$ و $g(x) = 3x$ آنگاه $(\frac{f}{g})(2) = 1$
پ) اگر $g(x) = 2x - 1$ و $f(x) = \sqrt x $ آنگاه $(fog)(5) = g(2)$
ت) برای هر دو تابع $f$ و $g$ داریم: $fog = gof$
ث) اگر $f(x) = {x^2} - 4$ و $g(x) = \sqrt {{x^2} - 4} $، آنگاه $(fog)(5) = - 25$ و $(fog)(x) = - {x^2}$
ج) برای هر دو تابع $f$ و $g$ داریم: $fg = gf$
4) فرض کنیم $\left\{ \begin{gathered}
g:\mathbb{N} \to \mathbb{N} \hfill \\
g(n) = 2n \hfill \\
\end{gathered} \right.$ و $f:A \to \mathbb{N}$ به این صورت تعریف شود: $f = \left\{ {(1,2),(2,3),(3,5),(4,7)} \right\}$ که در آن: $A = \left\{ {1,2,3,4} \right\}$، توابع $f + g$ و $gof$ را بهدست آورید.
5) اگر $f = \left\{ {( - 4,13),( - 1,7),(0,5),(\frac{5}{2},0),(3, - 5)} \right\}$ و $g = \left\{ {( - 4, - 7),( - 2, - 5),(0, - 3),(3,0),(5,2),(9,6)} \right\}$ توابع $f + g$ و $f - g$ و $\frac{f}{g}$ را بهدست آورید.
6) اگر $f(x) = \sqrt {{x^2} + 5} $ و $g(x) = \sqrt {4 - {x^2}} $، دامنه و ضابطهٔ توابع $fog$ و $gof$ را بهدست آورید.
7) اگر $f(x) = {x^2} - 9$ و $g(x) = x + 3$، ضابطه $\frac{f}{g}$ و دامنهٔ آن در ادامه محاسبه شدهاند. چه اشتباهی در محاسبه رخ داده است؟
$\frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{{{x^2} - 9}}{{x + 3}} = \frac{{(x - 3)(x + 3)}}{{x + 3}} = x - 3\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,{D_{\frac{f}{g}}} = \mathbb{R}$
8) اگر $f(x) = 2x + 5$، ${f^{ - 1}}(x)$، $fo{f^{ - 1}}$ و ${f^{ - 1}}of$ را بهدست آورید.
9) نمودار توابع $f$ و $g$ داده شدهاند. ضابطه $f + g$، $f - g$ و $fg$ را محاسبه کنید.
10) با توجه به نمودار زیر، هرکدام از عبارتهای داده شده را در صورت امکان محاسبه کنید.
$(f + g)(2)$ (الف
$(f + g)( - 3)$ (ب
$(fg)(\frac{1}{2})$ (پ
$(fog)( - 4)$ (ت
$(\frac{f}{g})(0)$ (ث
$(gof)( - 1)$ (ج
11) نشان دهید که وارون (معکوس) هر تابع خطی بهصورت $(a \ne 0)y = ax + b$ باز هم یک تابع خطی است.
12) تابع $f(x) = \frac{5}{9}(x - 32)$ درجه فارنهایت را به درجه سانتیگراد تبدیل میکند. تابعی بنویسید که درجه سانتیگراد را بهعنوان ورودی دریافت کند و درجه فارنهایت را بهعنوان خروجی تحویل دهد.
13) در تصاویر زیر طرح جلد چند کتاب پرفروش در حوزهٔ خاطرات دفاع مقدس را میبینید:
یکی از این کتابها در چاپ اول 10 هزار نسخه و در هر یک از چاپهای دیگر 7 هزار نسخه تولید شده است.
کتاب دیگر در چاپ اول 20 هزار نسخه و در هر یک از چاپهای بعدی 9 هزار نسخه به چاپ رسیده است.
الف) تابعهایی بنویسید که تعداد نسخههای چاپ شده هر یک از این دوکتاب را برحسب شماره چاپ نمایش دهند.
ب) تابعی بنویسید که مجموع نسخه های چاپ شدهٔ هر دو کتاب را نمایش دهد.
ت) نمودار هر سه تابع را در یک دستگاه محورهای مختصات رسم کنید.