همان‌گونه که عمل‌های جمع و ضرب در مورد دو عدد یا دو چند جمله‌ای انجام‌پذیر است، برای دو تابع نیز چنین اعمالی قابل انجام است. در فعالیت زیر مثالی واقعی از این موضوع بررسی می‌شود.

در فعالیت قبل دامنه $f$ و دامنه $g$ در حالت کلی مجموعه $\mathbb{R}$ است، ولی در این مسئلهٔ واقعی دامنهٔ تابع مجموعه‌ای مانند $\left[ {0,120} \right]$ است. بنابراین دامنه $f + g$ نیز چنین است.

نمودارهای سه تابع $f$، $g$ و $f + g$، فعالیت قبل، در شکل زیر رسم شده است.

رابطه بین این توابع را به کمک نمودار آنها توضیح دهید.

مثال: اگر $f(x) = \sqrt {x + 2} $ و $g(x) = \sqrt {3 - x} $ و $h(x) = \frac{{x + 2}}{{2x + 1}}$ توابع $f + g$، $g - h$، $gh$ و $\frac{f}{g}$ را محاسبه کنید و دامنهٔ آنها را به‌دست آورید. کدام یک از مقادیر $(f + g)(2)$ و $(f + g)(5)$ وجود دارند؟

حل: ابتدا دامنه هریک از توابع را به‌دست می‌آوریم:

${D_h} = \mathbb{R} - \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}$

${D_g} = \left( { - \infty ,3} \right]$

${D_f} = \left[ { - 2,\infty } \right)$

$(f + g)(2) = 3$ ولی $(f + g)(5)$ وجود ندارد.

$\begin{gathered}
  (f + g)(x) = f(x) + g(x) = \sqrt {x + 2}  + \sqrt {3 - x}  \hfill \\
  {D_{f + g}} = {D_f} \cap {D_g} = \left[ { - 2,3} \right] \hfill \\ 
\end{gathered} $

$\begin{gathered}
  (g.h)(x) = g(x)h(x) = (\sqrt {3 - x} )(\frac{{x + 2}}{{2x + 1}}) \hfill \\
  {D_{g.h}} = {D_g} \cap {D_h} = \left( { - \infty ,3} \right] - \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\} \hfill \\ 
\end{gathered} $

$\begin{gathered}
  (g - h)(x) = g(x) - h(x) = \sqrt {3 - x}  - \frac{{x + 2}}{{2x + 1}} \hfill \\
  {D_{g - h}} = {D_g} \cap {D_h} = ( - \infty , - \frac{1}{2}) \cup \left( { - \frac{1}{2},3} \right] \hfill \\ 
\end{gathered} $

$\begin{gathered}
  (\frac{f}{g})(x) = \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{{\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {3 - x} }} \hfill \\
  {D_{\frac{f}{g}}} = {D_f} \cap {D_g} - \left\{ {x|g(x) = 0} \right\} = \left[ { - 2,3} \right] - \left\{ 3 \right\} \hfill \\ 
\end{gathered} $

ترکیب توابع

با داشتن دو تابع $f$ و $g$ به شیوه‌ای دیگر هم می‌توان تابع جدیدی ساخت. در فعالیت زیر با این موضوع آشنا می‌شویم.

نمودارهای بالا به‌صورت زیر هم می‌توان نمایش داد:

اما $g\left( {f(x)} \right)$ را چگونه می‌توان محاسبه کرد؟ داریم:

$g\left( {f(x)} \right) = g(\frac{5}{9}(x - 32))$

و می‌دانیم تابع $g$ به هر ورودی 273 واحد اضافه می‌کند. پس:

$g\left( {f(x)} \right) = \frac{5}{9}(x - 32) + 273$

این یک تابع جدید است که درجه فارنهایت را به کلوین تبدیل می‌کند و به دلیل شیوهٔ محاسبه آن با $gof$ (بخوانید جی‌اواف) نمایش داده می‌شود. در حقیقت $gof$ نیز همانند ماشینی عمل می‌کند که ورودی $x$ را به $g\left( {f(x)} \right)$ تبدیل می‌کند.

مثال: اگر داشته باشیم $f(x) = \sqrt {x - 1} $ و $g(x) = {x^2} + 3$، دامنه و ضابطهٔ توابع $fog$ و $gof$ را به‌دست آورید.

حل: داریم،

${D_f} = \left[ {1,\infty } \right)$  و  ${D_g} = \mathbb{R}$

$(fog)(x) = f({x^2} + 3) = \sqrt {{x^2} + 3 - 1}  = \sqrt {{x^2} + 2} $

${D_{fog}} = \left\{ {x \in {D_g}\left| {g(x) \in {D_f}} \right.} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {g(x) \in \left[ {1,\infty } \right)} \right.} \right\}$
$ = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {{x^2} + 3 \geqslant 1} \right.} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {{x^2} \geqslant  - 2} \right.} \right\} = \mathbb{R}$

${D_{gof}} = \left\{ {x \in {D_f}\left| {f(x) \in {D_g}} \right.} \right\} = \left\{ {x \in \left[ {1,\infty } \right)\left| {\sqrt {x - 1}  \in \mathbb{R}} \right.} \right\} = \left[ {1,\infty } \right)$

$(gof)(x) = g(\sqrt {x - 1} ) = {(\sqrt {x - 1} )^2} + 3$

توجه کنید که $gof$ برای اعداد کمتر از 1 تعریف نشده است. به طور مثال $(gof)(\frac{1}{2})$ یا $(gof)(0)$ معنی ندارد. با این شرط $(gof)(x)$ را به‌صورت زیر هم می‌توان نمایش داد:

$(gof)(x) = x - 1 + 3$

$(gof)(x) = x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \in \left[ {1,\infty } \right)$