شکل مقابل اسباب انجام آزمایش ساده‌ای را نشان می‌دهد که به کمک آن می‌توان شتاب گرانش را در محل آزمایش اندازه گرفت.

الف) به نظر شما این وسیلهٔ آزمایش چگونه کار می‌کند؟
به محض رها شدن گلولهٔ آهنی  توسط آهن‌ربای الکتریکی زمان سنج شروع به کار می‌کند و به محض برخورد گلولهٔ آهنی با حسگر زمان‌سنج متوقف می‌شود. و زمان سقوط گلوله اندازه‌گیری می‌شود. ارتفاع سقوط گلوله نیز معین است، به کمک معادلهٔ مکان - زمان می‌توانیم شتاب گرانشی محل آزمایش را به دست بیاوریم:

$y=-\frac{1}{2}g{{t}^{2}}\xrightarrow{y=h}g=\frac{2h}{{{t}^{2}}}$

ب) در یک آزمایش نوعی، داده‌های زیر به دست آمده است:

$t=0/230s$     و      $h=0/27m$

با توجه به این داده‌ها، اندازهٔ شتاب گرانش در محل آزمایش چقدر به دست می‌آید؟ (اشاره: اگر وسایل مشابهی در آزمایشگاه مدرسه دارید، شتاب گرانش محل خود را به کمک آن اندازه گیری کنید.)

$g=\frac{2h}{{{t}^{2}}}\to g=\frac{2\times 0/27}{{{(0/23)}^{2}}}=10/21m/{{s}^{2}}$

شکل مقابل شخصی را نشان می‌دهد که ابتدا سنگی را از بالای پلی به داخل رودخانه‌ای رها کرده است. وقتی سنگ مسافت $4/0m$ را طی می‌کند سنگ دیگری دوباره از همان ارتفاع توسط شخص رها می‌شود. توضیح دهید آیا با گذشت زمان و تا قبل از برخورد سنگ اول به سطح آب رودخانه، فاصلهٔ بین دو سنگ کاهش یا افزایش می‌یابد یا تغییری نمی‌کند.
فاصللهٔ بین دو سنگ افزایش می‌یابد، زیرا در طول مدتی که دو سنگ در حال سقوط هستند، شتاب آنها برابر است و بنابراین افزایش سرعت آنها در هر ثانیه برابر است و چون سرعت سنگ اول بیشتر از سرعت سنگ دوم است، پس فاصلهٔ دو سنگ در طول مدت حرکت آنها افزایش می‌یابد.

1-1 شناخت حرکت
1- با توجه به داده‌های نقشهٔ شکل زیر،

الف) تندی متوسط و اندازهٔ سرعت متوسط خودرو را پیدا کنید.
به کمک روابط تندی متوسط و سرعت متوسط هر یک را محاسبه می‌کنیم.

${{s}_{av}}=\frac{\ell }{\Delta t}$ :تندی متوسط

$\xrightarrow[\Delta t=3600+1200=4800s]{\ell =88\times {{10}^{3}}m}{{s}_{av}}=\frac{88\times {{10}^{3}}}{4800}=18/3m/s$

${{v}_{av}}=\frac{d}{\Delta t}$ :اندازهٔ سرعت متوسط

$\xrightarrow[\Delta t=4800s]{d=60\times {{10}^{3}}m}{{v}_{av}}=\frac{60\times {{10}^{3}}}{4800}=12/5m/s$

ب) مفهوم فیزیکی این دو کمیت چه تفاوتی با یکدیگر دارد؟
تندی متوسط کمیتی نرده‌ای و سرعت متوسط کمیتی برداری است. تندی متوسط به مسیر حرکت وابسته است، ولی سرعت متوسط به جابه‌جایی وابسته است.
پ) در چه صورت تندی متوسط و اندازهٔ سرعت متوسط می‌توانست تقریباً با یکدیگر برابر باشد؟
در صورتی که حرکت بر خط راست و در یک جهت باشد.
2- متحرکی مطابق شکل در لحظهٔ ${{t}_{1}}$ در نقطهٔ $A$، در لحظهٔ ${{t}_{2}}$ در نقطهٔ $B$ و در لحظهٔ ${{t}_{3}}$ در نقطهٔ $C$ قرار دارد.

الف) بردارهای مکان متحرک را در هر یک از این لحظه‌ها روی محور$x$ رسم کنید و برحسب بردار یکه بنویسید.

${{\overrightarrow{d}}_{1}}=2\overrightarrow{i},{{\overrightarrow{d}}_{2}}=-3\overrightarrow{i},{{\overrightarrow{d}}_{3}}=6\overrightarrow{i}$

ب) بردار جابه جایی متحرک را در هر یک از بازه‌های زمانی ${{t}_{1}}$ تا ${{t}_{2}}$، ${{t}_{2}}$ تا ${{t}_{3}}$ و ${{t}_{1}}$ تا ${{t}_{3}}$ به دست آورید.

${{\overrightarrow{\Delta x}}_{1}}=-3\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{i}=-5\overrightarrow{i}$ :بردار جابه‌جایی متحرک در بازهٔ زمانی ${{t}_{1}}$ تا ${{t}_{2}}$

${{\overrightarrow{\Delta x}}_{2}}=6\overrightarrow{i}-(-3\overrightarrow{i})=9\overrightarrow{i}$ :بردار جابه‌جایی متحرک در بازهٔ زمانی ${{t}_{2}}$ تا ${{t}_{3}}$

${{\overrightarrow{\Delta x}}_{3}}=6\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{i}=4\overrightarrow{i}$ :بردار جابه‌جایی متحرک در بازهٔ زمانی ${{t}_{1}}$ تا ${{t}_{3}}$

3- در شکل زیر نمودار سرعت - زمان سه متحرک نشان داده شده است.
الف) شتاب سه متحرک را به طور کیفی با یکدیگر مقایسه کنید.
شیب خط مماس بر نمودار سرعت - زمان برابر با شتاب است، در نتیجه شتاب متحرک $B$ صفر است، زیرا شیب نمودار مربوط به آن صفر است و شتاب‌های دو متحرک $A$ و $C$ ثابت و مثبت هستند، چون شیب نمودار متحرک $C$ بیشتر از $A$ است، پس شتاب متحرک $C$ بزرگ‌تر از شتاب متحرک $A$ است.
ب) شتاب هر متحرک را به دست آورید.

${{a}_{B}}=0m/{{s}^{2}}$  و  ${{a}_{A}}=\frac{\Delta {{v}_{A}}}{\Delta {{t}_{A}}}\xrightarrow[\Delta {{t}_{A}}=20s]{\Delta {{v}_{A}}=20m/{{s}^{2}}}{{a}_{A}}=\frac{20}{20}=1m/{{s}^{2}}$

${{a}_{C}}=\frac{\Delta {{v}_{C}}}{\Delta {{t}_{C}}}\xrightarrow[\Delta {{t}_{C}}=10s]{\Delta {{v}_{C}}=20m/{{s}^{2}}}{{a}_{C}}=\frac{20}{10}=2m/{{s}^{2}}$ و

پ) در بازهٔ زمانی $0s$ تا $10s$ جابه جایی این سه متحرک را پیدا کنید.
نقشهٔ راه: سطح بین نمودار سرعت - زمان و محور زمان در هر بازهٔ زمانی برابر جابه‌جایی در آن بازه است. بنابراین:

$\Delta {{x}_{A}}=\frac{10\times 10}{2}=50m$ :جابه‌جایی متحرک $A$ در بازهٔ زمانی $0s$ تا $10s$

$\Delta {{x}_{B}}=20\times 10=200m$ :جابه‌جایی متحرک $B$ در بازهٔ زمانی $0s$ تا $10s$

$\Delta {{x}_{C}}=\frac{20\times 10}{2}=100m$ :جابه‌جایی متحرک $C$ در بازهٔ زمانی $0s$ تا $10s$

4- شکل زیر نمودار سرعت - زمان متحرکی را که در امتداد محور $x$ حرکت می‌کند در مدت 28 ثانیه نشان می‌دهد.

الف) شتاب در هر یک از مرحله های $AB$، $BC$ و $CD$ چقدر است؟
نقشهٔ راه: شتاب در هر مرحله را توسط رابطهٔ $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ به دست می‌آوریم:

${{a}_{AB}}=\frac{\Delta {{v}_{AB}}}{\Delta {{t}_{AB}}}=\frac{{{v}_{B}}-{{v}_{A}}}{{{t}_{B}}-{{t}_{A}}}\xrightarrow[{{t}_{B}}=8s,{{t}_{A}}=0]{{{v}_{B}}=4m/s,{{v}_{A}}=0}{{a}_{AB}}=\frac{4-0}{8-0}=0/5m/{{s}^{2}}$

${{v}_{B}}={{v}_{C}}=4m/s\to {{a}_{BC}}=0$

${{a}_{CD}}=\frac{{{v}_{D}}-{{v}_{C}}}{{{t}_{D}}-{{t}_{C}}}\xrightarrow[{{t}_{D}}=28s,{{t}_{C}}=20s]{{{v}_{D}}=6m/s,{{v}_{C}}=4m/s}{{a}_{CD}}=\frac{6-4}{28-20}=\frac{2}{8}=0/25m/{{s}^{2}}$

ب) شتاب متوسط در بازهٔ زمانی صفر تا 28 ثانیه چقدر است؟

${{a}_{av}}=\frac{{{v}_{D}}-{{v}_{A}}}{{{t}_{D}}-{{t}_{A}}}=\frac{6-0}{28-0}=\frac{6}{28}\simeq 0/21m/{{s}^{2}}$

پ) جابه جایی متحرک را در این بازهٔ زمانی پیدا کنید.
نقشهٔ راه: سطح بین نمودار سرعت - زمان و محور زمان در هر بازهٔ زمانی برابر جابه‌جایی در آن بازه است، بنابراین:

$\left. \begin{matrix}    \Delta {{x}_{AB}}=\frac{4\times 8}{2}=16m\begin{matrix}    {}  \\ \end{matrix}\begin{matrix}    {}  \\ \end{matrix}\begin{matrix}    \begin{matrix}    {}  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix}\begin{matrix}    {}  \\ \end{matrix}\begin{matrix}    {} & {}  \\ \end{matrix}  \\    \Delta {{x}_{BC}}=(20-8)\times 4=48m  \\    \Delta {{x}_{CD}}=\frac{(4+8)\times 8}{2}=40m\begin{matrix}    {}  \\ \end{matrix}\begin{matrix}    {}  \\ \end{matrix}\begin{matrix}    {}  \\ \end{matrix}\begin{matrix}    {}  \\ \end{matrix}\begin{matrix}    {}  \\ \end{matrix}\begin{matrix}    {}  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right\}\Rightarrow \Delta {{x}_{t}}=16+48+40=104m$

5- نمودار سرعت - زمان متحرکی مطابق شکل زیر است.

الف) نمودار شتاب - زمان این متحرک را رسم کنید.
نقشهٔ راه: شتاب در هر مرحله را حساب می‌کنیم:

${{a}_{1}}=\frac{\Delta {{v}_{1}}}{\Delta {{t}_{1}}}=\frac{10-0}{5-0}=2m/{{s}^{2}}$

${{a}_{2}}=\frac{\Delta {{v}_{2}}}{\Delta {{t}_{2}}}=\frac{-10-10}{15-5}=-2m/{{s}^{2}}$

${{a}_{3}}=\frac{\Delta {{v}_{3}}}{\Delta {{t}_{3}}}=\frac{10-(-10)}{25-15}=+2m/{{s}^{2}}$

ب) اگر ${{x}_{0}}=-10m$ باشد نمودار مکان - زمان متحرک را رسم کنید.
نقشهٔ راه: سطح بین نمودار سرعت - زمان و محور زمان در هر بازهٔ زمانی برابر جابه‌جایی در آن بازه است، بنابراین:

$\Delta {{x}_{1}}=\frac{10\times 5}{2}=25m\Rightarrow \Delta {{x}_{1}}={{x}_{1}}-{{x}_{0}}\Rightarrow 25={{x}_{1}}-(-10)\Rightarrow {{x}_{1}}=15m$

در بازهٔ زمانی $0s$ تا $5s$ حرکت با شتاب ثابت بوده و تندشونده است و نمودار به شکل سهمی می‌شود.

$\Delta {{x}_{2}}=\frac{10\times 5}{2}+\frac{-10\times 5}{2}=25-25=0\Rightarrow {{x}_{2}}=+{{x}_{1}}=15m$

در بازهٔ زمانی $5s$ تا $15s$ حرکت با شتاب ثابت بوده و در لحظهٔ $10s$ سرعت متحرک صفر شده است و در بازهٔ زمانی بین $5s$ تا $10s$ سطح زیر نمودار $(v-t)$ برابر با $25m$ است یعنی متحرک در این بازه $25m$ جابه‌جا شده است و در نتیجه از مکان $15m$ و به $40m$ رسیده است و در این مکان متحرک تغییر جهت می‌دهد و نمودار $(x-t)$ در این لحظه دارای بیشینه است. زیرا شیب نمودار برابر با سرعت است.

$\Delta {{x}_{3}}=\frac{-10\times 5}{2}+\frac{10\times 5}{2}=-25+25=0\Rightarrow {{x}_{3}}={{x}_{2}}=15m$

در لحظهٔ $20s$ سرعت متحرک صفر است. در بازهٔ $15s$ تا $25s$ سطح محصور در نمودار $(v-t)$  با محور زمان برابر با $-25m$ است، یعنی متحرک در این بازه $-25m$ جابه‌جا شده است و در نتیجه از مکان $15m$ به مکان $-10m$ رسیده است و در این مکان تغییر جهت می‌دهد و نمودار دارای کمینه است چون در هر سه مرحله حرکت با شتاب ثابت است، بنابراین در هر سه مرحله نمودار به شکل سهمی است.

6- شکل زیر نمودار مکان - زمان حرکت یک دوندهٔ دوی نیمه استقامت را در امتداد یک خط راست نشان می‌دهد.

الف) در کدام بازهٔ زمانی دونده سریع تر دویده است؟
در بازهٔ زمانی ${{t}_{1}}=0s$ تا ${{t}_{2}}=250s$، زیرا شیب نمودار مکان - زمان بیشتر از بازه‌های دیگر است.
ب) در کدام بازهٔ زمانی، دونده ایستاده است؟
در بازهٔ زمانی ${{t}_{2}}=250s$ تا ${{t}_{3}}=500s$، زیرا شیب نمودار مکان - زمان صفر است.
پ) سرعت دونده را در بازهٔ زمانی $0s$ تا $250s$ حساب کنید.
چون حرکت با سرعت ثابت است، داریم:

$v=\frac{{{x}_{1}}-{{x}_{0}}}{{{t}_{1}}-0}=\frac{1000-0}{250}=4m/s$

ت) سرعت دونده را در بازهٔ زمانی $500s$ تا $1000s$ حساب کنید.
حرکت با سرعت ثابت است و شیب نمودار مقدار ثابتی و برابر با سرعت است:

$v=\frac{{{x}_{4}}-{{x}_{3}}}{{{t}_{4}}-{{t}_{3}}}=\frac{2500-1000}{1000-500}=\frac{1500}{500}=3m/s$

ث) سرعت متوسط دونده را در بازهٔ زمانی $0s$ تا $1000s$ حساب کنید.

${{v}_{av}}=\frac{{{x}_{4}}-{{x}_{0}}}{{{t}_{4}}-{{t}_{0}}}=\frac{2500-0}{1000-0}=2/5m/s$

7- توضیح دهید کدام یک از نمودارهای مکان - زمان شکل زیر می‌تواند نشان دهندهٔ نمودار $x-t$ یک متحرک باشد.

نمودار (پ) می‌تواند نمودار $(x-t)$ باشد.
نمودار (الف) و (ت) نمی‌تواند زیرا متحرک در هر لحظه فقط باید در یک مکان باشد ولی این دو نمودار چنین نیست مثلاً در شکل الف متحرک در یک لحظه در دو مکان است که غیر ممکن است به عبارت دیگر نمودار به صورت یک تابع باشد.

نمودار (ب) نمی‌تواند نمودار $(x-t)$ باشد، زیرا شیب خط مماس بر نمودار $(x-t)$ در هر لحظه برابر با سرعت لحظه‌ای است که چون سرعت نمی‌تواند بی‌نهایت باشد، بنابراین خط مماس نمی‌تواند به صورت قائم شود که در نمودار (ب) در لحظهٔ ${{t}_{1}}$ شیب خط مماس بی‌نهایت شده است.

8- توضیح دهید از نمودارهای مکان - زمان شکل زیر کدام موارد حرکت متحرکی را توصیف می‌کند که از حال سکون شروع به حرکت کرده و به تدریج بر تندی آن افزوده شده است.

شکل‌های (ت) و (پ)، زیرا شیب نمودار در لحظهٔ $t=0s$ صفر (خط مماس افقی است) و به مرور در حال افزایش است و تندی به تدریج زیاد می‌شود.
ولی در نمودارهای (الف) و (ب) خط مماس در لحظهٔ $t=0s$ افقی نیست، بنابراین متحرک از حال سکون شروع به حرکت نکرده است.

9- توضیح دهید کدام یک از نمودارهای مکان - زمان نشان داده شده، حرکت متحرکی را توصیف می‌کند که سرعت اولیهٔ آن در جهت محور $x$ و شتاب آن بر خلاف جهت محور $x$ است.

نمودار (الف) اگر خط مماس در هر لحظه ${{t}_{1}}=0s$ را رسم کنیم، شیب این خط برابر با سرعت اولیه است که در نمودار الف این شیب مثبت است، یعنی سرعت اولیه در جهت محور $x$ است. از طرفی چون نمودار به شکل $(\bigcap )$ است، یعنی تقعر نمودار رو به پائین است، در نتیجه شتاب حرکت منفی و در خلاف جهت محور $x$ است.

10- شکل زیر نمودار مکان - زمان دو خودرو را نشان می‌دهد که در جهت محور $x$ در حرکت‌اند.

الف) در چه لحظه‌هایی دو خودرو از کنار یکدیگر می‌گذرند؟
در لحظه‌های ${{t}_{1}}$ و ${{t}_{6}}$ زیرا در این دو لحظه هر دو متحرک در یک مکان هستند.
ب) در چه لحظه‌ای تندی دو خودرو تقریباً یکسان است؟
در لحظهٔ ${{t}_{4}}$ زیرا مماس‌ها بر نمودارها در این لحظه تقریباً موازی‌اند و در نتیجه شیب خط مماس‌ها تقریباً برابرند که این شیب برابر با تندی است.
پ) سرعت متوسط دو خودرو را در بازهٔ زمانی ${{t}_{1}}$ تا ${{t}_{6}}$ با هم مقایسه کنید.
برابرند، زیرا طبق رابطهٔ ${{a}_{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$ در بازهٔ زمانی ${{t}_{1}}$ تا ${{t}_{6}}$، $\Delta x$ و $\Delta t$ و در نتیجه ${{v}_{av}}$ برای دو خودرو برابر هستند.

11- هر یک از شکل‌های زیر مکان یک خودرو را در لحظه‌های $t=0$ ،$t=T$ ،$t=2T$، .... و $t=7T$ نشان می‌دهد. هر دوخودرو در لحظهٔ $t=3T$ شتاب می‌گیرند. توضیح دهید،

الف) سرعت اولیهٔ کدام خودرو بیشتر است.
خودرو $A$، زیرا $t=0$ تا $t=3T$ سرعت ثابت است و برابر سرعت اولیه است و خودروی $A$ در بازه‌های زمانی برابر مسافت بیشتری را طی کرده است.
ب) سرعت نهایی کدام خودرو بیشتر است.
خودرو $B$، زیرا در بازه زمانی $t=6T$  تا $t=7T$ مسافت بیشتری را طی کرده و در نتیجه سرعت نهایی آن بیشتر بوده است.
پ) کدام خودرو شتاب بیشتری دارد.
خودرو $B$، زیرا در بازه‌های زمانی برابر سرعت تغییرات سرعتش بیشتر بوده است.
12- معادلهٔ حرکت جسمی در $SI$ به صورت $x={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+4$ است.
الف) مکان متحرک را در $t=0s$ و $t=2s$ به دست آورید.

$x={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+4\left\{ \begin{matrix}    \xrightarrow{{{t}_{1}}=0}{{x}_{0}}=0-0+4\to {{x}_{0}}=4m  \\    \xrightarrow{{{t}_{2}}=2s}x={{(2)}^{3}}-3{{(2)}^{2}}+4=0  \\ \end{matrix} \right.$

ب) سرعت متوسط جسم را در بازهٔ زمانی صفر تا 2 ثانیه پیدا کنید.

${{v}_{av}}=\frac{x-{{x}_{0}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}=\frac{0-4}{2-0}=-2m/s$

13- نمودار سرعت - زمان متحرکی در شکل زیر نشان داده شده‌ است. تعیین کنید در کدام بازه‌های زمانی بردار شتاب در جهت محور $x$ و در کدام بازه‌های زمانی در خلاف جهت محور $x$ است.
در بازهٔ زمانی $0$ تا ${{t}_{1}}$ و همچنین ${{t}_{3}}$ تا ${{t}_{4}}$ شتاب مثبت و در جهت محور $x$ است، زیرا شیب خط مماس در این دو بازهٔ زمانی مثبت است.
در بازهٔ زمانی ${{t}_{1}}$ تا ${{t}_{3}}$ شتاب منفی و در خلاف جهت محور $x$ است، زیرا شیب خط مماس در این بازه منفی است.

2-1 حرکت با سرعت ثابت
14- جسمی با سرعت ثابت بر مسیری مستقیم در حرکت است.
اگر جسم در لحظهٔ ${{t}_{1}}=5/0s$ در مکان ${{x}_{1}}=6/0m$ و در لحظهٔ ${{t}_{2}}=20/0s$ در مکان ${{x}_{2}}=36/0m$ باشد،
الف) معادلهٔ مکان - زمان جسم را بنویسید.
نقشهٔ راه: چون حرکت با سرعت ثابت است به کمک معادلهٔ زیر سرعت متحرک را به دست می‌آوریم:

$v=\frac{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}=\frac{36-6}{20-5}=\frac{30}{15}=2m/s$

به کمک معادله مکان - زمان، مکان اولیه متحرک را به دست می‌آوریم:

${{x}_{1}}=v{{t}_{1}}+{{x}_{0}}\Rightarrow 6=2\times 5+{{x}_{0}}\Rightarrow x0=-4m$

$x=vt+{{x}_{0}}\xrightarrow[v=2m/s]{{{x}_{0}}=-4m}x=2t-4$

ب) نمودار مکان - زمان جسم را رسم کنید.

15- شکل زیر نمودار مکان - زمان متحرکی را نشان می‌دهد که در امتداد محور $x$ حرکت می‌کنند.

الف) جابه جایی و مسافت پیموده شده توسط متحرک در کل زمان حرکت چقدر است؟
نقشهٔ راه: جابه‌جایی متحرک برابر است با :

$\Delta x=x-{{x}_{0}}=0-5=-5m$

مسافت پیموده شده توسط متحرک برابر است با:

$\ell =(10-5)+|0-10|=5+10=15m$ مسافت

ب) سرعت متوسط متحرک را در هر یک از بازه‌های زمانی $‌0/0s$ تا $‌4/0s$، $‌4/0s$ تا $‌8/0s$، $‌8/0s$ تا $‌10/0s$ و همچنین در کل زمان حرکت به دست آورید.

${{v}_{a{{v}_{1}}}}=\frac{\Delta {{x}_{1}}}{\Delta {{t}_{1}}}=\frac{10-5}{4}=\frac{5}{4}=1/25m/s$ :از $0s$ تا $4s$

${{v}_{a{{v}_{2}}}}=\frac{\Delta {{x}_{2}}}{\Delta {{t}_{2}}}=\frac{10-10}{8-4}=0$ :از $4s$ تا $8s$

${{v}_{a{{v}_{3}}}}=\frac{\Delta {{x}_{3}}}{\Delta {{t}_{3}}}=\frac{0-10}{2}=-5m/s$ :از $8s$ تا $10s$

${{v}_{a{{v}_{t}}}}=\frac{\Delta {{x}_{t}}}{\Delta {{t}_{t}}}=\frac{0-5}{10}=-0/5m/s$ :از $0s$ تا $10s$

پ) معادلهٔ حرکت متحرک را در هر یک از بازه‌های زمانی $‌0/0s$ تا $‌4/0s$، $‌4/0s$ تا $‌8/0s$، و $‌8/0s$ تا $‌10/0s$ بنویسید.

${{x}_{1}}={{v}_{1}}t+{{x}_{0}}\Rightarrow {{x}_{1}}=1/25t+5$ :معادلهٔ حرکت در بازهٔ $0s$ تا $4s$

${{x}_{2}}=10$ :معادلهٔ حرکت در بازهٔ $4s$ تا $8s$

${{x}_{3}}={{v}_{3}}t+{{x}_{2}}\Rightarrow {{x}_{3}}=-5t+10$ :معادلهٔ حرکت در بازهٔ $8s$ تا $10s$

ت) نمودار سرعت - زمان متحرک را رسم کنید.

16- شکل زیر نمودار مکان - زمان دو خودرو را نشان می‌دهد که روی خط راست حرکت می‌کنند.

الف) معادلهٔ حرکت هر یک از آنها را بنویسید.
نقشهٔ راه: هر دو خودرو با سرعت ثابت حرکت می‌کنند و ابتدا سرعت هریک را به دست می‌آوریم و در معادلهٔ $x=vt+{{x}_{0}}$ قرار می‌دهیم:

${{v}_{A}}=\frac{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}=\frac{0-(-300)}{10-0}=30m/s\Rightarrow {{x}_{A}}=30t-300$

${{v}_{B}}=\frac{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}=\frac{450-300}{10}=15m/s\Rightarrow {{x}_{B}}=15t+300$

ب) اگر خودروها با همین سرعت حرکت کنند، در چه زمان و مکانی به هم می‌رسند؟
نقشهٔ راه: زمان به هم رسیدن دو خودرو با قرار دادن ${{x}_{A}}={{x}_{B}}$ قابل محاسبه است، یعنی:

${{x}_{A}}={{x}_{B}}\Rightarrow 30t-300=15t+300\Rightarrow 15t=600\Rightarrow t=40s$

${{x}_{A}}=30t-300\xrightarrow{t=40s}{{x}_{A}}=30\times 40-300=900m$

دو متحرک در لحظهٔ $40s$ و در مکان $900$ متری مبدأ به هم می‌رسند.
17- دانستن محل قرارگیری یک ماهواره در مأموریت‌های فضایی و اطمینان از اینکه ماهواره در مدار پیش بینی شده قرار گرفته، یکی از مأموریت‌های کارشناسان فضایی است. بدین منظور تَپ‌های الکترومغناطیسی را که با سرعت نور در فضا حرکت می‌کنند، به طرف ماهوارهٔ موردنظر می‌فرستند و بازتاب آن توسط ایستگاه زمینی دریافت می‌شود. اگر زمان رفت و برگشت یک تپ $0/24$ ثانیه باشد، فاصلهٔ ماهواره از ایستگاه زمینی، تقریباً چقدر است؟
نقشهٔ راه: چون زمان رفت و برگشت یک تپ $0/24$ ثانیه است، پس زمان رفت نصف این عدد یعنی $0/12s$ است. اگر سرعت نور را $3\times {{10}^{8}}m/s$ فرض کنیم، داریم:

$\Delta x=vt=3\times {{10}^{8}}\times 0/12=36\times {{10}^{6}}m$ :فاصله ماهواره از ایستگاه زمینی

3-1 حرکت با شتاب ثابت
18- نمودار $v-t$ متحرکی که در امتداد محور $x$ حرکت می‌کند مطابق شکل زیر است. سرعت متوسط متحرک در بازهٔ زمانی $0/0s$ تا $5/0s$ چند برابر سرعت متوسط آن در بازهٔ زمانی $25/0s$ تا $40/0s$ است؟

نقشهٔ راه: برای محاسبهٔ سرعت متوسط نیاز به جابه‌جایی داریم که جابه‌جایی مساحت زیر نمودار $(v-t)$ است، در نتیجه:

${{\Delta }_{{{x}_{1}}}}=\frac{5\times 5}{2}=12/5m$ :جابه‌جایی در بازهٔ $0s$ تا $5s$

${{v}_{a{{v}_{1}}}}=\frac{\Delta {{x}_{1}}}{\Delta {{t}_{1}}}=\frac{12/5}{5}=2/5m/s$ :سرعت متوسط در بازهٔ $0s$ تا $5s$

${{\Delta }_{{{x}_{2}}}}=\frac{15\times 5}{2}=37/5m$ :جابه‌جایی در بازهٔ $25s$ تا $40s$

${{v}_{a{{v}_{2}}}}=\frac{\Delta {{x}_{2}}}{\Delta {{t}_{2}}}=\frac{37/5}{15}=2/5m/s$ :سرعت متوسط در بازهٔ زمانی $25s$ تا $40s$

$\frac{{{v}_{a{{v}_{1}}}}}{{{v}_{a{{v}_{2}}}}}=\frac{2/5}{2/5}=1$

19- شکل زیر نمودار مکان - زمان متحرکی را نشان می‌دهد که در امتداد محور $x$ با شتاب ثابت در حرکت است.

الف) سرعت متوسط متحرک در بازهٔ زمانی صفر تا $3/0$ ثانیه چند متر بر ثانیه است؟

${{v}_{av}}=\frac{x-{{x}_{0}}}{t}=\frac{6-0}{3}=2m/s$

ب) معادلهٔ مکان - زمان متحرک را بنویسید.
نقشهٔ راه: در لحظهٔ $1s$ سرعت متحرک صفر شده است، به روش زیر سرعت اولیهٔ متحرک را به دست می‌آوریم:

$\Delta x=(\frac{v+{{v}_{0}}}{2})t\Rightarrow -2=(\frac{0+{{v}_{0}}}{2})\times 1\Rightarrow {{v}_{0}}=-4m/s$

و شتاب متحرک را می‌توانیم به صورت زیر محاسبه کنیم.

$x=\frac{1}{2}a{{t}^{2}}+{{v}_{0}}t+{{x}_{0}}\Rightarrow x=2{{t}^{2}}-4t$ :معادلهٔ مکان - زمان         $a=\frac{v-{{v}_{0}}}{t}=\frac{0-(-4)}{1}=4m/{{s}^{2}}$

پ) سرعت متحرک را در لحظهٔ $t=3/0s$ پیدا کنید.

$v=at+{{v}_{0}}\xrightarrow[t=3s,{{v}_{0}}=-4m/s]{a=4m/{{s}^{2}}}v=4\times 3-4=8m/s$

ت) نمودار سرعت - زمان متحرک را رسم کنید.

20- متحرکی در امتداد محور $x$ و با شتاب ثابت در حرکت است. در مکان $x=+10m$ سرعت متحرک $+4m/s$ و در مکان $x=+19m$ سرعت متحرک $+18km/h$ است.
الف) شتاب حرکت آن چقدر است؟
نقشهٔ راه: به کمک معادلهٔ سرعت - جابه‌جایی می‌توانیم شتاب را به دست بیاوریم:

$18km/h=5m/s$
$v_{2}^{2}-v_{1}^{2}=2a({{x}_{2}}-{{x}_{1}})\Rightarrow {{5}^{2}}-{{4}^{2}}=2a(19-10)\Rightarrow 9=18a\Rightarrow a=0/5m/{{s}^{2}}$

ب) پس از چه مدتی سرعت متحرک از $+4m/s$ به سرعت $+18km/h$ می‌رسد؟
نقشهٔ راه: از معادلهٔ سرعت - زمان می‌توانیم زمان خواسته شده را به دست بیاوریم:

${{v}_{2}}=at+{{v}_{1}}\Rightarrow 5=0/5t+4\Rightarrow t=2s$

21- خودرویی پشت چراغ قرمز ایستاده است. با سبز شدن چراغ، خودرو با شتاب $2m/{{s}^{2}}$ شروع به حرکت می‌کند. در همین لحظه، کامیونی با سرعت ثابت $36km/h$ از آن سبقت می‌گیرد.
الف) در چه لحظه و در چه مکانی خودرو به کامیون می‌رسد؟
نقشهٔ راه: معادلهٔ مکان - زمان دو متحرک را نوشته و مساوی یکدیگر قرار می‌دهیم تا لحظهٔ رسیدن خودرو به کامیون را به دست بیاوریم:

${{t}_{2}}=10s\Rightarrow {{x}_{1}}=10\times 10=100m$ و ${{t}_{1}}=0s$ 

در لحظهٔ $10s$ و در مکان $100m$ خودرو به کامیون می‌رسد.
ب) نمودار مکان - زمان را برای خودرو و کامیون در یک دستگاه مختصات رسم کنید.
پ) نمودار سرعت - زمان را برای خودرو و کامیون در یک دستگاه مختصات رسم کنید.

22- شکل نشان داده شده نمودار سرعت - زمان خودرویی را نشان می‌دهد که روی مسیری مستقیم حرکت می‌کند.

الف) شتاب خودرو را در هر یک از لحظه‌های $t=3s$، $t=8s$، $‌t=11s$ و $t=15s$ به دست آورید.
نقشهٔ راه: در لحظه‌های $t=3s$ و $t=11s$ و $t=15s$ سرعت خودرو ثابت است و بنابراین شتاب خودرو صفر است و شتاب در لحظهٔ $8s$ با شتاب متوسط در بازهٔ $5s$ تا $10s$ برابر و حرکت با شتاب ثابت است که چنین به دست می‌آید.

$a={{a}_{av}}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{15-5}{10-5}=\frac{10}{5}=2m/{{s}^{2}}$ :شتاب خودرو در لحظهٔ $8s$

ب) شتاب متوسط در بازهٔ زمانی ${{t}_{1}}=0s$ تا ${{t}_{2}}=20s$ را به دست آورید.

${{a}_{av}}=\frac{{{v}_{2}}-{{v}_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}=\frac{15-5}{20-0}=\frac{10}{20}=0/5m/{{s}^{2}}$

پ) در هر یک از بازه‌های زمانی ${{t}_{1}}=5s$ تا ${{t}_{2}}=11s$ و ${{t}_{2}}=11s$ تا ${{t}_{3}}=20s$ خودرو چقدر جابه جا شده است؟
نقشهٔ راه: سطح بین نمودار سرعت - زمان و محور زمان در هر بازهٔ زمانی برابر جابه‌جایی در آن بازه است، بنابراین:

${{\Delta }_{{{x}_{1}}}}=\frac{(5+15)\times 5}{2}+15\times 1=65m$ :جابه‌جایی از ${{t}_{1}}=5s$ تا ${{t}_{2}}=11s$

${{\Delta }_{{{x}_{2}}}}=15\times 9=135m$:جابه‌جایی از ${{t}_{2}}=11s$ تا ${{t}_{3}}=20s$

ت) سرعت متوسط خودرو در بازه‌های ${{t}_{1}}=5s$ تا ${{t}_{2}}=11s$ و ${{t}_{3}}=11s$ تا ${{t}_{4}}=20s$ را به دست آورید.

${{v}_{a{{v}_{1}}}}=\frac{\Delta {{x}_{1}}}{\Delta {{t}_{1}}}=\frac{65}{6}=10/83m/s$ :از $5s$ تا $11s$

${{v}_{a{{v}_{2}}}}=\frac{\Delta {{x}_{2}}}{\Delta {{t}_{2}}}=\frac{135}{9}=15m/s$ :از $11s$ تا $20s$

4-1 حرکت سقوط آزاد
23- گلوله‌ای را باید از چه ارتفاعی رها کنیم تا پس از $4/0$ ثانیه به زمین برسد؟ سرعت گلوله در نیمهٔ راه و همچنین در لحظهٔ برخورد به زمین چقدر است؟ مقاومت هوا را نادیده بگیرید.
نقشهٔ راه: اگر جهت به سمت بالا را مثبت و مبدأ مکان را محل رها شدن جسم فرض کنیم، داریم:

$y=-\frac{1}{2}g{{t}^{2}}+{{y}_{0}}\Rightarrow -h=-\frac{1}{2}(9/8){{(4)}^{2}}+0\Rightarrow h=78/4m$

$v=-gt=-9/8\times 4=-39/2m/s$ :سرعت گلوله در لحظهٔ رسیدن به زمان

${{v}^{2}}=-2g(y-{{y}_{0}})=-2\times 9/8\times (-39/2)$ :سرعت گلوله در نیمهٔ راه

${{v}^{2}}=768/32\to v=-27/72m/s$

24- الف) گلولهٔ $A$ را در شرایط خلأ از ارتفاع $h$ و بدون سرعت اولیه رها می‌کنیم. سه ثانیه بعد گلولهٔ $B$ را از ارتفاع $h/4$ و بدون سرعت اولیه رها می‌کنیم. نسبت سرعت گلولهٔ $A$ به سرعت گلولهٔ $B$ در لحظهٔ رسیدن به زمین چقدر است؟
نقشهٔ راه: اگر جهت به سمت بالا را مثبت و مبدأ مکان را محل رها شدن هر گلوله فرض کنیم، داریم:

${{v}^{2}}=-2g(y-{{y}_{0}})\Rightarrow \frac{{{v}^{2}}_{A}}{{{v}^{2}}_{B}}=\frac{{{y}_{A}}}{{{y}_{B}}}=\frac{h}{\frac{h}{4}}=4\Rightarrow \frac{{{v}_{A}}}{{{v}_{B}}}=2$

ب) اگر دو گلوله همزمان به زمین برسند، مدت زمان سقوط هر گلوله و ارتفاع $h$ را پیدا کنید.

|$h=-\frac{1}{2}\times 9/8{{(6)}^{2}}\Rightarrow h=176/4m$

25- سنگی از بام ساختمانی بدون سرعت اولیه و در شرایط خلأ به طرف زمین رها می‌شود.
الف) اگر سنگ در ٢ ثانیهٔ آخر حرکت خود ٦٠ متر را طی کند، ارتفاع ساختمان چند متر است؟
نقشهٔ راه: با فرض $g=10m/{{s}^{2}}$ این مسيله را حل می‌کنیم:

$\Delta y=\frac{1}{2}g{{t}^{2}}+{{v}_{1}}t\Rightarrow -60=-5{{(2)}^{2}}+2{{v}_{1}}\Rightarrow 2{{v}_{1}}=-40\Rightarrow {{v}_{1}}=-20m/s$

$v_{1}^{2}=-2g(y-{{y}_{0}})\Rightarrow 400=-20\times y\Rightarrow y=-20m$

$-h=-60+(-20)=-80m\Rightarrow h=80m$ ارتفاع ساختمان

در دو ثانیه آخر جابه‌جایی متحرک برابر است با:

ب) سرعت سنگ درست پیش از برخورد به زمین چقدر است؟

${{v}^{2}}=-2g(y-{{y}_{0}})\Rightarrow 2\times 10\times (-80)=1600\Rightarrow v=-40m/s$