قضیهٔ زاویهٔ ظلی: زاویهٔ ظلی نصف کمان مقابل است.

بروزرسانی شده در: 15:01 1404/10/14 مشاهده: 22 دسته بندی: کپسول آموزشی

قضیهٔ زاویهٔ ظلی¹: راز پنهان در حلقه‌های آسمان و زمین

کشف رابطه‌ای شگفت‌انگیز بین زاویه‌ای که در محیط می‌بینیم و کمانی که بر روی دایره قرار دارد.

خلاصه: قضیهٔ زاویهٔ ظلی¹ یکی از زیباترین قضایای هندسهٔ دایره است که ارتباط دقیقی بین زاویه‌ای که رأس آن بر روی محیط دایره قرار دارد و کمان مقابل آن برقرار می‌کند. این مقاله به زبان ساده و با مثال‌هایی از زندگی روزمره، این قضیه را توضیح داده، اثری ساده از آن ارائه می‌دهد و کاربردهای عملی آن را در دنیای اطراف ما بررسی می‌کند. کلیدواژه‌های اصلی این مبحث عبارتند از: زاویهٔ محاطی²، کمان مقابل، دایره و هندسه.

زاویهٔ ظلی چیست؟ آشنایی با بازیگران اصلی

برای درک این قضیه، اول باید با چند مفهوم آشنا شویم. تصور کنید یک دایره داریم، مانند لاستیک دوچرخه یا حلقهٔ بسکتبال.

عنوان مفهوم	تعریف ساده	مثال ملموس
زاویهٔ محاطی (زاویهٔ ظلی)	زاویه‌ای که رأس آن روی محیط دایره قرار دارد و دو ضلع آن وترهای³ دایره هستند.	وقتی از نقطه‌ای روی زمین (روی محیط استخر دایره‌ای) به دو تیرک دروازه (دو نقطه روی محیط) نگاه می‌کنید.
کمان مقابل	بخشی از محیط دایره که در مقابل زاویهٔ محاطی قرار گرفته و بین دو طرف زاویه واقع نشده است.	قوس بزرگتری از استخر که پشت سر شما قرار دارد و مستقیماً به آن نگاه نمی‌کنید.
زاویهٔ مرکزی⁴	زاویه‌ای که رأس آن در مرکز دایره است و دو ضلع آن شعاع‌هایی هستند که به دو انتهای یک کمان می‌رسند.	اگر در مرکز استخر بایستید و به دو تیرک دروازه نگاه کنید.

بیان و درک قضیهٔ اصلی

حالا نوبت اصل ماجراست. قضیهٔ زاویهٔ ظلی می‌گوید:

قضیه: اندازهٔ هر زاویهٔ محاطی در یک دایره، برابر است با نصف اندازهٔ کمان مقابل آن.
به زبان ریاضی: اگر $\widehat{AB}$ کمان مقابل زاویهٔ محاطی $\angle ACB$ باشد، آنگاه داریم: $$ \angle ACB = \frac{1}{2} \widehat{AB} $$ دقت کنید که اندازهٔ کمان بر حسب درجه بیان می‌شود.

بیایید با یک مثال عددی ساده آن را بررسی کنیم. فرض کنید در یک دایره، کمان مقابل یک زاویهٔ محاطی، ۸۰ درجه باشد. طبق قضیه، اندازهٔ آن زاویهٔ محاطی می‌شود: $\frac{1}{2} \times 80 = 40$ درجه.

یک نتیجه‌گیری جالب دیگر: اگر چند زاویهٔ محاطی مختلف، همگی بر یک کمان واحد تکیه کنند، اندازهٔ همهٔ آن‌ها با هم برابر است. چون همهٔ آن‌ها برابر نصف آن کمان واحد هستند! این را می‌توانید در تصویر زیر مجسم کنید.

اثر قضیه: چرا این رابطه برقرار است؟

برای درک دلیل این قضیه، از رابطهٔ ساده‌تری کمک می‌گیریم: زاویهٔ مرکزی. می‌دانیم اندازهٔ یک زاویهٔ مرکزی دقیقاً برابر اندازهٔ کمان روبروی آن است (طبق تعریف). حالا، با اضافه کردن یک شعاع کمکی و استفاده از خاصیت مثلث متساوی‌الساقین و رابطهٔ زاویهٔ خارجی در مثلث، می‌توان نشان داد که زاویهٔ محاطی همیشه نصف زاویهٔ مرکزیِ روبروی همان کمان است. از آنجا که زاویهٔ مرکزی برابر کمان است، پس زاویهٔ محاطی برابر نصف آن کمان می‌شود. این اثر، زیبایی و نظم موجود در هندسهٔ دایره را به ما نشان می‌دهد.

از زمین فوتبال تا طراحی ساختمان: کاربردهای زاویهٔ ظلی

شاید فکر کنید این قضیه فقط در کتاب‌های ریاضی کاربرد دارد. اما اشتباه نکنید! این رابطه در بسیاری از طراحی‌های اطراف ما نقش دارد.

معماری و طراحی طاق‌ها و گنبدها: در ساخت طاق‌های دایره‌ای و نیم‌دایره‌ای، مهندسان برای محاسبه‌ی زوایای دقیق سنگ‌ها یا آجرها از این روابط هندسی استفاده می‌کنند تا ساختار محکم و زیبایی ایجاد شود.
نقشه‌برداری و تعیین موقعیت: فرض کنید در نقطه‌ای از یک میدان دایره‌شکل (مانند یک میدان دو) ایستاده‌اید و می‌خواهید فاصله‌ی زاویه‌ای بین دو بنر تبلیغاتی روی محیط میدان را بدون رفتن به مرکز میدان تخمین بزنید. با اندازه‌گیری زاویهٔ دیدتان (زاویهٔ محاطی) می‌توانید طول کمان بین آن دو بنر را تخمین بزنید.
طراحی مسیرهای حرکتی: در طراحی پیست‌های دو و میدانی، یا حتی مسیرهای دوربرگردان‌ها، محاسبه‌ی دقیق کمان‌ها و زوایای دید رانندگان برای ایمنی و روانی حرکت اهمیت دارد.
مثال روزمره: یک ساعت عقربه‌ای را در نظر بگیرید. عقربه‌های ساعت‌شمار و دقیقه‌شمار از مرکز دایره خارج می‌شوند (زاویه مرکزی می‌سازند). اما اگر شما روی محیط صفحه‌ی ساعت بایستید و به دو عقربه نگاه کنید، زاویهٔ دید شما یک زاویهٔ محاطی است که اندازه‌اش نصف فاصلهٔ کمانی بین دو عقربه خواهد بود!

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

سوال: آیا زاویهٔ محاطی حتماً باید داخل دایره باشد؟ چه می‌شود اگر رأس زاویه روی دایره باشد اما یکی از ضلع‌ها مماس⁵ بر دایره باشد؟
پاسخ: بله، در تعریف کلاسیک زاویهٔ محاطی، هر دو ضلع باید وتر باشند (دایره را در دو نقطه قطع کنند). اگر یک ضلع مماس باشد، به آن «زاویه بین وتر و مماس» می‌گویند که قضیه‌ی جداگانه‌ای دارد: اندازهٔ آن زاویه نیز برابر نصف کمان مقابل است. پس نتیجه کلی مشابه است، اما شرایط شکل کمی فرق می‌کند.

سوال: یک اشتباه رایج این است که دانش‌آموزان کمان کوچک (بین دو ضلع زاویه) را به‌جای کمان مقابل در نظر می‌گیرند. چگونه می‌توان این دو را از هم تشخیص داد؟
پاسخ: بهترین راه، ترسیم دقیق شکل است. کمان مقابل، قسمتی از دایره است که در مقابل رأس زاویه قرار دارد و زاویه آن را نمی‌پوشاند. یعنی اگر از رأس زاویه به دایره نگاه کنید، کمانی که دور از شما و در سمت مقابل قرار گرفته، کمان مقابل است. معمولاً این کمان بزرگ‌تر از کمان بین دو ضلع است.

سوال: آیا این قضیه برای هر زاویه‌ای که رأسش روی دایره باشد صادق است، حتی اگر ضلع‌ها از دایره خارج شوند؟
پاسخ: خیر. برای اینکه زاویه، محاطی باشد، علاوه بر قرار گرفتن رأس روی محیط، هر دو ضلع باید دایره را در نقطه‌ی دیگری (غیر از رأس) قطع کنند، یعنی باید وتر باشند. اگر ضلع‌ها خارج از دایره باشند، دیگر وتر محسوب نمی‌شوند و قضیه در مورد آن صادق نیست.

جمع‌بندی: قضیهٔ زاویهٔ ظلی یا محاطی، یک رابطهٔ اساسی و زیبا در هندسهٔ دایره است که بیان می‌کند: $\text{زاویهٔ محاطی} = \frac{1}{2} \times \text{کمان مقابل}$. این قضیه نه تنها پایه‌ای برای حل بسیاری از مسائل هندسی است، بلکه درک بهتری از ساختار دایره، که کامل‌ترین شکل هندسی است، به ما می‌دهد. با یادگیری این قضیه و تشخیص درست کمان مقابل، می‌توانید معمای بسیاری از شکل‌های پیچیده‌تر دایره را نیز حل کنید.

پاورقی

¹ زاویهٔ ظلی یا زاویهٔ محاطی (Inscribed Angle): زاویه‌ای که رأس آن بر روی محیط دایره قرار دارد و دو ضلع آن، وترهای آن دایره هستند.
² محاطی (Inscribed): به معنای «درون‌نوشته» یا «مندرج»، اشاره به شکلی دارد که درون شکل دیگری قرار گرفته. زاویه‌ای که درون دایره و بر محیط آن رسم شده است.
³ وتر (Chord): پاره‌خطی که دو نقطه از محیط دایره را به هم وصل می‌کند.
⁴ زاویهٔ مرکزی (Central Angle): زاویه‌ای که رأس آن در مرکز دایره است.
⁵ مماس (Tangent): خطی که دایره را فقط در یک نقطه لمس می‌کند و عمود بر شعاع در آن نقطه است.

زاویه محاطیقضیه زاویه ظلیهندسه دایرهکمان مقابلکاربردهای هندسه

پایهٔ یازدهم هندسه یازدهم قضیهٔ زاویهٔ ظلی

اطلاع از تغییرات در بسته‌های گاما

کاربر عزیز سلام!