زاویهٔ ظلی: زاویه‌ای با یک ضلع مماس و یک ضلع وتر

بروزرسانی شده در: 14:53 1404/10/14 مشاهده: 18 دسته بندی: کپسول آموزشی

زاویهٔ ظلی: نقطهٔ تماس دایره و هندسه

یک رابطهٔ هندسی جالب که اندازهٔ یک زاویه را با کمانی از دایره پیوند می‌دهد.

در هندسهٔ دایره، زاویهٔ ظلی^۱ یکی از انواع خاص زاویه‌هاست که راس آن بر محیط دایره قرار دارد. این زاویه از برخورد یک خط مماس و یک وتر به وجود می‌آید و قضیهٔ مهمی حکم می‌کند که اندازهٔ آن دقیقاً برابر با نصف کمان روبه‌رو است. درک این مفهوم کلیدی نه تنها برای حل مسائل هندسی مربوط به دایره ضروری است، بلکه کاربردهای عملی جالبی نیز در طراحی و اندازه‌گیری دارد. این مقاله به زبان ساده به تعریف، قضیه، اثبات و مثال‌های ملموس از زاویهٔ ظلی می‌پردازد.

زاویهٔ ظلی چیست؟ تعریف و اجزا

برای درک زاویهٔ ظلی، ابتدا باید با محیط بازی که در آن شکل می‌گیرد آشنا شویم: یک دایره. طبق تعریف، زاویهٔ ظلی زاویه‌ای است که راس آن دقیقاً روی محیط دایره قرار دارد. اما ویژگی متمایزکنندهٔ آن در دو ضلعش است: یکی از ضلع‌ها بر دایره مماس است و ضلع دیگر، قاطعی است که دایره را در دو نقطه قطع می‌کند و یکی از این نقوط، خود راس زاویه است. به بخشی از این قاطع که بین راس و نقطهٔ دیگر تقاطع با دایره قرار دارد، وتر گفته می‌شود.

در شکل زیر، نقطهٔ A راس زاویهٔ ظلی ($\hat{A}$) است. پاره خط AC که دایره را فقط در نقطهٔ A لمس می‌کند، ضلع مماس است. پاره خط AB که از داخل دایره می‌گذرد و آن را در نقاط A و B قطع می‌کند، ضلع وتری (قاطع) زاویه است.

قضیهٔ اصلی زاویهٔ ظلی: اندازهٔ هر زاویهٔ ظلی، برابر است با نصف اندازهٔ کمان مقابلش که بین دو ضلع زاویه محصور شده است. $\hat{A} = \frac{1}{2} \widehat{AB}$

به زبان ساده‌تر، اگر کمان کوچکی که در مقابل این زاویه و داخل آن قرار دارد (کمان AB) را اندازه بگیرید و عدد به دست آمده را تقسیم بر دو کنید، اندازهٔ زاویهٔ ظلی به دست می‌آید. این رابطه، قلب موضوع زاویهٔ ظلی است.

رابطهٔ ظلی با زاویه‌های محاطی و مرکزی

زاویهٔ ظلی در خانوادهٔ دایره تنها نیست. دو عضو معروف دیگر این خانواده، زاویهٔ محاطی^۲ و زاویهٔ مرکزی^۳ هستند. درک ارتباط بین این سه، تصویر جامع‌تری از هندسهٔ دایره به شما می‌دهد.

نوع زاویه	موقعیت راس	نسبت با کمان روبرو	مثال
مرکزی	مرکز دایره	برابر با کمان ($\widehat{AB} = \theta$)	زاویهٔ مرکزی AOB
محاطی	روی محیط دایره	نصف کمان ($\hat{C} = \frac{1}{2} \widehat{AB}$)	زاویهٔ ACB که راس آن روی دایره است.
ظلی	روی محیط دایره	نصف کمان ($\hat{A} = \frac{1}{2} \widehat{AB}$)	زاویه‌ای با یک ضلع مماس (مثل AC) و یک ضلع وتر (مثل AB)

همان‌طور که از جدول مشخص است، هم زاویهٔ محاطی و هم زاویهٔ ظلی که راسشان روی دایره است، اندازه‌ای برابر با نصف کمان مقابل دارند. در حقیقت، می‌توان گفت این دو زاویه در این ویژگی با هم برابرند: اگر هر دو به یک کمان نگاه کنند، اندازه‌شان یکسان خواهد بود. این ارتباط کلید حل بسیاری از مسائل ترکیبی است.

از تئوری تا عمل: مثال‌هایی از دنیای واقعی

شاید بپرسید یادگیری این مفهوم چه فایده‌ای دارد؟ بیایید با یک مثال ملموس شروع کنیم. فرض کنید یک مهندس می‌خواهد زاویهٔ برخورد یک جادهٔ مستقیم (مماس) با یک میدان دایره‌شکل (دایره) را نسبت به خیابانی که از میدان می‌گذرد (وتر) محاسبه کند. اگر او بتواند کمان بین دو خروجی میدان را اندازه‌گیری یا محاسبه کند، به راحتی و با استفاده از قضیهٔ زاویهٔ ظلی می‌تواند زاویهٔ مورد نظر را پیدا کند: کمان تقسیم بر دو!

مثال حل‌شده ۱: در شکل روبرو، خط AT بر دایره در نقطهٔ A مماس است. اگر اندازهٔ زاویهٔ محاطی B برابر 70° و کمان BC برابر 120° باشد، اندازهٔ زاویهٔ ظلی x را بیابید.

راه‌حل گام‌به‌گام:
۱. اندازهٔ کمان مقابل زاویهٔ محاطی B (AC) دو برابر آن است: $ \widehat{AC} = 2 \times 70° = 140° $.
۲. جمع کمان‌های دایره 360° است. پس کمان AB برابر است با: $ \widehat{AB} = 360° - (120° + 140°) = 100° $.
۳. زاویهٔ ظلی x مقابل کمان AB قرار دارد. پس: $ x = \frac{1}{2} \times \widehat{AB} = \frac{1}{2} \times 100° = 50° $.

مثال دیگر در طراحی و معماری است. در طراحی یک پنجرهٔ دایره‌شکل با تزئینات داخلی، اگر بخواهند تیرک‌های داخلی (وترها) با قاب پنجره (مماس بر دایره) زاویه‌های مشخصی بسازند، با دانستن زاویهٔ بین تیرک‌ها (که متناظر با کمان است)، می‌توان زاویهٔ برخورد تیرک با قاب را طراحی کرد.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

سوال ۱: آیا اگر خط مماس نباشد، باز هم زاویهٔ ظلی داریم؟

پاسخ: خیر. یکی از شرایط ضروری برای تشکیل زاویهٔ ظلی، این است که یکی از اضلاع حتماً مماس بر دایره باشد. اگر هر دو ضلع، وتر باشند (دایره را قطع کنند)، زاویهٔ حاصل یک زاویهٔ محاطی است. اگر هم یکی مماس نباشد و یکی وتر نباشد (مثلاً یک شعاع باشد)، آن زاویه، ظلی محسوب نمی‌شود.

سوال ۲: کمانی که اندازهٔ زاویهٔ ظلی از روی آن محاسبه می‌شود، کدام کمان است؟ آیا ممکن است اشتباه بگیریم؟

پاسخ: بله، این یک اشتباه رایج است. کمان مقابل زاویهٔ ظلی، کمان کوچکی است که در داخل خود زاویه قرار دارد، نه کمان بزرگ بیرونی. یک راه تشخیص ساده این است: دو ضلع زاویه را در نظر بگیرید؛ این دو ضلع دایره را در مجموع در سه نقطه قطع می‌کنند (راس و یک نقطهٔ دیگر توسط وتر). کمانی که بین این دو نقطهٔ تقاطع و در ناحیهٔ داخلی زاویه قرار دارد، کمان مقابل است.

سوال ۳: آیا زاویهٔ ظلی می‌تواند قائمه یا منفرجه باشد؟

پاسخ: بله. از آنجا که اندازهٔ زاویهٔ ظلی نصف کمان مقابلش است، اگر کمان مقابل 180° باشد، زاویهٔ ظلی 90° (قائمه) می‌شود. اگر کمان بیشتر از 180° باشد، زاویهٔ ظلی بیشتر از 90° (منفرجه) خواهد بود. البته در بیشتر مسائل پایه، با کمان‌های کوچکتر از 180° و در نتیجه زاویه‌های تند مواجه می‌شویم.

جمع‌بندی: زاویهٔ ظلی یک مفهوم هندسی ظریف و کاربردی در مبحث دایره‌ها است. شناخت آن به سه جزء اصلی وابسته است: راس روی دایره، یک ضلع مماس و یک ضلع وتری. قضیهٔ کلیدی آن — که اندازه‌اش را نصف کمان روبه‌رو می‌داند — پیوندی ناگسستنی با زاویهٔ محاطی ایجاد می‌کند. با تمرین روی مثال‌های مختلف و دوری از اشتباهات رایج (مثل تشخیص نادرست کمان مقابل)، می‌توانید به تسلط خوبی در این مبحث برسید و حتی کاربردهایش را در اطراف خود ببینید.

پاورقی

^۱زاویهٔ ظلی (Tangent-Chord Angle): زاویه‌ای که راس آن بر روی دایره قرار دارد و از تلاقی یک خط مماس بر دایره و یک وتر از آن دایره تشکیل می‌شود.
^۲زاویهٔ محاطی (Inscribed Angle): زاویه‌ای که راس آن بر روی محیط دایره قرار دارد و اضلاع آن هر دو وترهایی از دایره هستند. اندازهٔ آن نصف کمان روبه‌روست.
^۳زاویهٔ مرکزی (Central Angle): زاویه‌ای که راس آن در مرکز دایره قرار دارد و اضلاع آن شعاع هستند. اندازهٔ آن با کمان روبه‌رو برابر است.

هندسه دایره زاویه ظلی خط مماس و وتر قضایای دایره ریاضی یازدهم

پایهٔ یازدهم هندسه یازدهم زاویهٔ ظلی

اطلاع از تغییرات در بسته‌های گاما

کاربر عزیز سلام!