مکان هندسی: جهانهای کوچک ریاضی
مکان هندسی چیست؟ از یک ایده ساده شروع کنیم
تصور کنید معلم از شما میخواهد همه دانشآموزانی که قد آنها دقیقاً 150 سانتیمتر است، در یک ردیف بایستند. این ردیف، یک «مجموعه» است. ویژگی مشترک اعضای این مجموعه، «قد 150 سانتیمتر» است. مکان هندسی در ریاضیات نیز دقیقاً همین ایده را دارد، اما به جای دانشآموز، با «نقاط» سر و کار داریم.
تعریف: مکان هندسی، مجموعهای از تمام نقاط است که در یک شرط یا ویژگی مشخص مشترک هستند. این نقاط میتوانند روی یک خط، منحنی، یا یک سطح در فضا قرار بگیرند. کشف این مجموعه، مانند حل یک معمای جذاب است.
مثالهای آغازین: خطایست و عمودمنصف
بیایید با سادهترین ویژگیها شروع کنیم. یکی از نخستین مکانهای هندسی که میآموزید، خطایست است.
مثال ۱: مجموعه نقاطی که از دو نقطهٔ ثابت A و B به یک فاصله هستند، کجاست؟ ابتدا دو نقطه روی کاغذ بگذارید. نقطهای مثل P را در نظر بگیرید که PA = PB. اگر چندین نقطه با این ویژگی را پیدا و به هم وصل کنید، متوجه میشوید که همگی روی خطی راست قرار میگیرند که از وسط پارهخط AB میگذرد و بر آن عمود است. به این خط، عمودمنصف[3] میگویند.
حالا یک گام فراتر بگذاریم. مجموعه نقاطی که از یک خط راست مفروض، به یک فاصلهاند، کجاست؟ این بار، دو خط راست موازی در دو سوی خط مفروض و به فاصلهٔ مشخص از آن، مکان هندسی مورد نظر ما هستند. این مثال نشان میدهد یک ویژگی، میتواند به یک مجموعه متشکل از دو خط (و نه یک خط) منجر شود.
| شرط یا ویژگی نقاط | مکان هندسی حاصل | مثال کاربردی |
|---|---|---|
| فاصله از دو نقطهٔ ثابت، برابر باشد (PA = PB) | خط راست (عمودمنصف) | پیدا کردن مرکز دایرهوار حول دو شهر برای ساخت بیمارستان |
| فاصله از یک خط راست ثابت، مقداری مشخص باشد (d) | دو خط راست موازی با خط مفروض | کشیدن خطوط کمکی در نقشهکشی برای رعایت فاصله ایمنی |
| فاصله از یک نقطهٔ ثابت، مقداری مشخص باشد (r) | دایره | حدود میدان تیر، مسیر چرخش ماهواره |
ستارهٔ مکانهای هندسی: دایره
مهمترین و شناختهشدهترین مکان هندسی، دایره است. تعریف دایره، خود یک تعریف مکانهندسی است: مجموعه همه نقاطی از صفحه که از یک نقطهٔ ثابت (مرکز دایره) به یک فاصله (شعاع دایره) قرار دارند.
اگر مرکز دایره را نقطه O و شعاع را r بنامیم، شرط ریاضی برای هر نقطه P روی دایره این است: $ OP = r $ . این مفهوم در طبیعت و زندگی فراوان است: حلقههای ایجادشده بر آب پس از انداختن سنگ، چرخ دندهها و حتی مدار گردش زمین به دور خورشید (به صورت تقریبی).
منحنیهای جذاب: بیضی و سهمی
با پیچیدهتر شدن شرط، مکانهای هندسی جالبتری پدید میآیند. دو نمونه بسیار معروف، بیضی[4] و سهمی[5] هستند.
بیضی: مجموعه نقاطی که مجموع فاصلههای آنها از دو نقطهٔ ثابت (کانونها) مقداری ثابت است. اگر یک ریسمان بلند را به دو میخ (کانونها) ببندید و با نوک مداد آن را بکشید، یک بیضی میکشید! مدار سیارات به دور خورشید نیز بیضیشکل است.
اگر فاصله دو کانون را 2c و مجموع فواصل را 2a بنامیم، شرط ریاضی برای نقطه P روی بیضی این است: $ PF_1 + PF_2 = 2a $ .
سهمی: مجموعه نقاطی که از یک نقطهٔ ثابت (کانون) و یک خط ثابت (هادی) به یک فاصله هستند. این منحنی در طراحی آنتنهای ماهوارهای، چراغهای جلو خودرو و حتی مسیر پرتاب یک توپ (در حالت ایدهآل) دیده میشود.
کاربرد مکان هندسی: از نقشهکشی تا نجوم
مکانهای هندسی فقط در کتابهای درسی نیستند؛ آنها زبان توصیف جهان اطراف ما هستند.
مثال عملی ۱ (نقشهبرداری): فرض کنید میخواهید مکانی را برای ساخت یک دکل مخابراتی پیدا کنید که از سه روستای A، B و C به یک فاصله باشد. مکان هندسی نقاطی که از A و B به یک فاصلهاند، عمودمنصف AB است. همین شرط برای B و C، عمودمنصف BC را میدهد. نقطهٔ برخورد این دو خط، دقیقاً از هر سه روستا به یک فاصله خواهد بود! این نقطه، مرکز دایرهای است که از سه روستا میگذرد.
مثال عملی ۲ (نجوم و فضا): همانطور که گفتیم، مدار یک سیاره به دور ستارهاش یک بیضی است که ستاره در یکی از کانونهای آن قرار دارد. این یک مکان هندسی واقعی در مقیاس کیهانی است. مهندسان با استفاده از معادله سهمی، آنتنهای پارابولیک را طراحی میکنند تا امواج را در یک نقطه (کانون) متمرکز کنند و سیگنال قوی دریافت نمایند.
دایره: اگر مرکز (h, k) و شعاع r باشد، معادله به صورت $ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $ است.
سهمی با کانون روی محور x: معادله به صورت $ y^2 = 4px $ است که p فاصله کانون از رأس است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. یک مکان هندسی باید بر اساس یک «شرط یا ویژگی ریاضی دقیق و مشخص» تعریف شود. مجموعه نقاطی که به صورت تصادفی روی صفحه پراکنده شدهاند، یک مکان هندسی محسوب نمیشوند مگر آنکه ویژگی مشترک ریاضی واضحی برای همه آنها بیان کنیم.
پاسخ: اشتباه رایج، اکتفا کردن به بخش اول تعریف است. بسیاری از دانشآموزان فقط نشان میدهند نقاطی که شرط را دارند، روی شکل مورد نظر قرار میگیرند (مثلاً روی یک خط هستند). اما فراموش میکنند ثابت کنند که همه نقاط روی آن خط، شرط را دارند. برای یک پاسخ کامل، باید هر دو جهت اثبات شود.
پاسخ: شکل هندسی معمولی (مثل مربع) را میتوان با ویژگیهای مختلفی توصیف کرد. اما وقتی آن را به عنوان یک «مکان هندسی» معرفی میکنیم، فقط بر یک ویژگی خاص و تعیینکننده تأکید داریم. مثلاً مربع را میتوان مکان هندسی نقاطی دانست که از مرکز آن به یک فاصله هستند و در چهار جهت عمود بر هم قرار گرفتهاند. نگاه مکانهندسی، نگاه به «چرایی» شکلگیری یک شکل است.
پاورقی
[1] مکان هندسی: Locus (از واژه لاتین به معنای «مکان»).
[2] خطایست: Locus (همان مکان هندسی). در متن گاه برای تنوع از این واژه استفاده شده است.
[3] عمودمنصف: Perpendicular Bisector. خطی که از وسط یک پارهخط میگذرد و بر آن عمود است.
[4] بیضی: Ellipse. مکان هندسی نقاطی که مجموع فواصل آنها از دو نقطه ثابت (کانون) مقداری ثابت است.
[5] سهمی: Parabola. مکان هندسی نقاطی که فاصله آنها از یک نقطه ثابت (کانون) و یک خط ثابت (هادی) برابر است.
